Lineare Abbildung bilden < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei der affine Unterraum
[mm]A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + Lin \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix} \subset \IR^4 [/mm]
Bestimmen Sie für ein geeignetes [mm]q \in \IN[/mm] eine lineare Abbildung [mm]b: \IR^4 \rightarrow \IR^q [/mm] und ein [mm]c \in \IR^q[/mm] mit [mm]A = b^{-1} \{c\}[/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze nun seit heute früh an dieser Aufgabe und jegliches Durchwälzen des Skripts oder Büchern bringt mich irgendwie nicht weiter.
Ich wollte zunächst mal sicher gehen, ob ich die Aufgabe überhaupt richtig verstanden habe. Und weil ich sonst niemanden wüsste, den ich fragen könnte (meine Mitstudenten wissen auch nicht weiter), tue ich das mal hier.
b soll irgendeine lineare Abbildung sein, die die Vorraussetzung erfüllt, dass es ein c gibt, dessen Faser genau A ist. Das heißt, alle Elemente aus A, werden von b auf c abgebildet. Und auch nur diese Elemente, denn würden auch noch andere Elemente außer die von A auf c abgebildet werden, kämen diese ja auch in der Faser vor.
Zudem weiß ich, dass die Matrix zu b genau 4 Spalten haben soll. Damit weiß ich schonmal (nach der Rangformel), dass die Dimension des Kerns von b + die Dimension des Bildes von B, also q, = 4 ist. Damit ist q auf jeden Fall mal <= 4. Sehe ich das richtig ?
Viel weiter weiß ich im Moment leider auch nicht :( Ich habe noch diverse Gleichungen aufgestellt, indem ich vor jeden Vektor aus der Linearen Hülle eine variable gestellt habe usw, aber das hat mir leider auch nicht weitergeholfen.
Wäre nett, wenn mir jemand ein paar Hinweise geben könnte!
viele Grüße,
Leon
|
|
| |
|
> Gegeben sei der affine Unterraum
>
> [mm]A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + Lin \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, &
\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix} \subset \IR^4[/mm]
>
> Bestimmen Sie für ein geeignetes [mm]q \in \IN[/mm] eine lineare
> Abbildung [mm]b: \IR^4 \rightarrow \IR^q[/mm] und ein [mm]c \in \IR^q[/mm]
> mit [mm]A = b^{-1} \{c\}[/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
> b soll irgendeine lineare Abbildung sein, die die
> Vorraussetzung erfüllt, dass es ein c gibt, dessen Faser
> genau A ist. Das heißt, alle Elemente aus A, werden von b
> auf c abgebildet. Und auch nur diese Elemente, denn würden
> auch noch andere Elemente außer die von A auf c abgebildet
> werden, kämen diese ja auch in der Faser vor.
Hallo,
das ist richtig.
Du weißt sicher, daß lineare Abbildungen von einem VR in einen anderen durch Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Ich mache mich jetzt auf die Suche nach einer möglichst geschickten Basis.
Es ist A= [mm] a+ [/mm] mit [mm] a:=\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 2 }, v_1:=\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1}, v_2:= \vektor{4 \\ -2 \\ 3 \\ 1 }, v_3:=\vektor{0 \\ 6 \\ 3 \\ 3 } [/mm] und [mm] v_4:= \vektor{2 \\ -6 \\ 2 \\ 4 }
[/mm]
Wenn Du Dir [mm] v_1,...,v_4 [/mm] genauer anschaust (mit Stift und Papier), wirst Du feststellen, daß sie nicht linear unabhängig sind. Auf den Vektor [mm] v_4 [/mm] kann man verzichten, die verbleibenden drei sind linear unabhängig.
Also ist A= [mm] a+.
[/mm]
Weiter kannst Du feststellen, daß [mm] (a,v_1,v_2,v_3) [/mm] linear unabhängig sind.
4 linear unabhängige Vektoren aus [mm] \IR^4 [/mm] - eine Basis des [mm] \IR^4!
[/mm]
Jedes x [mm] \in [/mm] A läßt sich schreiben als [mm] x=a+k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3 [/mm] mit [mm] k_i \in \IR.
[/mm]
Schauen wir uns nun b(x) an:
[mm] b(x)=b(a+k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3)=b(a)+k_1b(v_1)+k_2b(v_2)+k_3b(v_3)
[/mm]
Siehst Du, daß, wenn wir so geschickt sind, daß wir sagen [mm] b(v_i):=0, [/mm] jedes Element von A auf b(a) abgebildet wird?
Weisen wir nun dem Basisvektor a auch noch einen Wert zu , etwa b(a):=a (aber das ist nicht zwingend), so haben wir eine Abbildung gefunden, die die geforderte Bedingung erfüllt.
Wie gesagt, die gefundene Möglichkeit ist eine Möglichkeit von vielen.
Man könnte auch in den [mm] \IR^2 [/mm] abbilden, z.B. vermöge [mm] b(v_i):=\vektor{0\\ 0}, b(a):=\vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
Noch eine Sache: wie sollst Du das aufschreiben auf Deinem Aufgabenblatt?
Mach es so:
Sag: ich definiere eine lineare Abb. b: [mm] \IR^4 [/mm] --> [mm] \IR^{jenachdem} [/mm] durch b(a):=..., [mm] b(v_1):=...,...
[/mm]
Dann erklärst Du, daß a, [mm] v_1,..., v_3 [/mm] eien Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ist, und somit b eindeutig bestimmt.
Und nun zeigst Du, daß b genau die geforderte Eigenschaft hat.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Do 14.12.2006 | | Autor: | Fylosofus |
Hallo,
vielen Dank für die ausführliche und prompte Erklärung! Ich habe sie jetzt zwar im Detail noch nicht komplett verstanden, aber ich denke das wird noch.
Ich hoffe, eines Tages selbst auf solche Ansätze zu kommen ...
viele Grüße,
Leon
|
|
|
| |
|
Hallo,
zunächst ein etwas verspätetes
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> vielen Dank für die ausführliche und prompte Erklärung! Ich
> habe sie jetzt zwar im Detail noch nicht komplett
> verstanden, aber ich denke das wird noch.
Frag ruhig nach, was Du nach eigenem Überlegen nicht verstehst!
Manche Threads sind durchaus etwas länger. Das darf so sein...
> Ich hoffe, eines Tages selbst auf solche Ansätze zu kommen
Steter Tropfen...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
