Lineare Abbildung R^4 -> R^3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Di 11.01.2011 | | Autor: | Bremerin |
| Aufgabe | Für die angegebene Vektoren entscheiden Sie, ob es jeweils eine Lineare Abbildung
[mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] gibt, die die v1;....; v4 auf die w1;...:w4 abbildet. Dabei
sind
[mm] w_1:= [/mm] (1 2 3); [mm] w_2:= [/mm] (2 3 1); [mm] w_3:= [/mm] ( 3 1 2); [mm] w_4:=(0 [/mm] 4 2)
und
a) [mm] v_1:= [/mm] (1100) [mm] v_2:=(1110) v_3:=(0111) [/mm] v4_:=(0011) |
Dann gibt es noch b und c dazu...aber wenn mir das jemand mal an a) vormachen könnte wäre es super, denn mein Problem ist das w 3 Zahlen und v 4 hat.
Wie kann man das dann auseinander kombinieren?
Danke. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mi 12.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du kennst Matrizen, oder? Tipp: Dann weisst du, dass diese nicht immer quadratisch sein müssen.
Gruss
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> Für die angegebene Vektoren entscheiden Sie, ob es
> jeweils eine Lineare Abbildung
> [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^3[/mm] gibt, die die v1;....; v4 auf die w1;...:w4
> abbildet. Dabei
> sind
> [mm]w_1:=[/mm] (1 2 3); [mm]w_2:=[/mm] (2 3 1); [mm]w_3:=[/mm] ( 3 1 2);
> [mm]w_4:=(0[/mm] 4 2)
>
>
> und
>
> a) [mm]v_1:=[/mm] (1100) [mm]v_2:=(1110) v_3:=(0111)[/mm] v4_:=(0011)
> Dann gibt es noch b und c dazu...aber wenn mir das jemand
> mal an a) vormachen könnte wäre es super, denn mein
> Problem ist das w 3 Zahlen und v 4 hat.
> Wie kann man das dann auseinander kombinieren?
[mm] \red{EDITIERT}
[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es geht hier um die Frage, ob es eine lineare Abbildung g aus dem Raum [mm] \IR^4 [/mm] in den Raum [mm] \IR^3 [/mm] gibt, so daß
[mm] g(v_1)=w_1, g(v_2)=w_2, g(v_3)=w_3, g(v_4)=w_4.
[/mm]
Du kannst feststellen, daß [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ist.
Also kannst Du jeden Vektor v aus dem [mm] \IR^4 [/mm] schreiben als [mm] v=r_1v_1+r_2v_2+r_3v_3+r_4v_4 [/mm] mit passenden [mm] r_i\in \IR,
[/mm]
und Du kannst zeigen, daß die Abbildung
[mm] g:\IR^4\to \IR^3 [/mm] mit
[mm] g(v):=r_1w_1+r_2w_2+r_3w_3+r_4w_4 [/mm] für alle [mm] v=r_1v_1+r_2v_2+r_3v_3+r_4v_4 [/mm]
1. linear ist
und
2. die geforderte Eigenschaft [mm] g(v_1)=w_1, g(v_2)=w_2, g(v_3)=w_3, g(v_4)=w_4, [/mm] hat.
Wahrscheinlich war in der Vorlesung sogar schon ein entsprechender Satz dran,
welcher etwas darüber erzählt, daß durch die Angabe der Werte auf eine Basis eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist, so daß Du Dich nur darauf berufen mußt.
Natürlich kannst Du, wie bereits von qsxqsx vorgeschlagen, auch die zugehörige 4x3-Abbildungsmatrix A aufstellen und die Funktionsvorschrift in der Form
g(x):=A*x formulieren,
oder auch die Funktionsvorschrift in der Gestalt
[mm] g(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}):=\vektor{...\\...\\...} [/mm] aufschreiben.
Lt. Fragestellung erforderlich ist das nicht.
(Meiner Meinung nach macht es zuviel Mühe.)
Probleme kann es aber bei dieser Fragestellung geben - ich bin mir sicher, daß eine andere Teilaufgabe sowas in der Art für Dich bereithält:
gibt es eine lineare Abbildung Abbildung [mm] f:\IR^3\to \IR^4 [/mm] mit
[mm] f(w_1):=v_1, f(w_2):=v_2, f(w_3):=v_3, f(w_4):=v_4 [/mm] ?
Du kannst nämlich feststellen, daß die drei Vektoren [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] linear unabhängig sind, also eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Da dies so ist, gibt es Zahlen [mm] r_i\in \IR [/mm] mit [mm] w_4=r_1w_1+r_2w_2+r_3w_3.
[/mm]
Wenn es eine lineare Abbildung gibt wie gefordert, dann muß gelten
[mm] v_4=f(w_4)=f(r_1w_1+r_2w_2+r_3w_3)= [/mm] ... (Linearität verwenden.)
Ob diese Gleichheit gilt, ist zu überprüfen.
Wenn ja: dann gibt es eine lineare Abbildung f mit [mm] f(v_i)=w_i,
[/mm]
wenn nein: dann kann es eine solche lineare Abbildung nicht geben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bremerin |
Hallo angela.h.b,
danke für die so ausführliche Antwort, jetzt kann ich mir zuminest etwas drunter vorstellen.
Ich habe nun aber noch eine Frage:
Wie schreibe ich das denn richtig auf, dass es [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] gibt mit der Rechnung?
Und darf ich auch Vektoren mit Null multiplizieren?
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> Hallo angela.h.b,
>
> danke für die so ausführliche Antwort, jetzt kann ich mir
> zuminest etwas drunter vorstellen.
Hallo,
hast Du aber gemerkt, daß ich in meiner Antwort die [mm] v_i [/mm] und [mm] w_i [/mm] vertauscht hatte?
Deshalb paßt's nicht so ganz.
Ich bearbeite das nochmal.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe nun aber noch eine Frage:
>
> Wie schreibe ich das denn richtig auf, dass es [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^3[/mm]
> gibt mit der Rechnung?
>
> Und darf ich auch Vektoren mit Null multiplizieren?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bremerin |
Ja, ich war mir grade deshalb nicht mehr sicher ob ich die Zuordnungsfeile andersrum interpretieren soll...und wollte nicht direkt fragen, sondenr habe deshalb das [mm] R^4-> R^3 [/mm] nochmal aufgeschrieben....
Danke :)
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> Ich habe nun aber noch eine Frage:
>
> Wie schreibe ich das denn richtig auf, dass es [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^3[/mm]
> gibt mit der Rechnung?
Hallo,
dies sollte sich in meiner nunmehr bearbeiteten Antwort erschließen.
> Und darf ich auch Vektoren mit Null multiplizieren?
Klar!
Gruß v. Angela
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Hallo Bremerin!
A*v=w,A ist 4 x 3 - Matrix,
1.Zeile von A : a11,a12,a13,a14 ,
2.Zeile von A : a21,a22,a23,a24,
3.Zeile von A : a31,a32,a33,a34,
Gleichungssystem lautet :
a11 + a12 = 1
a21 + a22 = 2
a31 + a32 = 3
a11 + a12 + a13 = 2
a21 + a22 + a23 = 3
a31 + a32 + a33 = 1
a12 + a13 + a14 = 3
a22 + a23 + a24 = 1
a32 + a33 + a34 = 2
a13 + a14 = 0
a23 + a24 = 4
a33 + a34 = 2
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha Ludwig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bremerin |
Danke an euch Drei :D
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:16 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bremerin |
So rein theoretisch hab ich es nun drauf, aber ich habe trotz Probierens nichts Gescheites hinbekommen.
Falls sich jemand erbarmen würde und mir die Aufgabe wie einem normalo Oberstufenschüler vorrechnen könnte, wäre ich sehr verbunden :)
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> So rein theoretisch hab ich es nun drauf, aber ich habe
> trotz Probierens nichts Gescheites hinbekommen.
Hallo,
kannst Du mal genauer sagen, was Du verstanden hast und woran es scheitert?
> Falls sich jemand erbarmen würde und mir die Aufgabe wie
> einem normalo Oberstufenschüler vorrechnen könnte, wäre
> ich sehr verbunden :)
Wir erwarten jetzt Aktivität von Dir.
Ich hatte Dir doch hier recht genau gesagt, wie Du die lineare Abbildung definieren kannst, damit alles schön klappt.
Was hast Du denn damit bisher getan?
Oder wenn Du einen anderen Ansatz verfolgst:
ist Dir der Satz, der etwas über lineare Abbildungen und darüber, daß sie durch Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind, bekannt? In welcher Formulierung?
Gruß v. Angela
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