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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler K-VR und f: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung mit [mm] f^2 [/mm] = f.
Zeigen Sie, dass es eine Basis B von V gibt, so dass die darstellende Matrix A von f bezüglich B die Gestalt
A= [mm] \pmat{ I_r & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
hat, wobei r [mm] \in \IN [/mm] und [mm] I_r [/mm] die r-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. |
Hallo Leute,
habe (mal wieder) eine frage.
mein problem ist einfach, das ich nicht mit diesem [mm] f^2 [/mm] = f rechnen soll
ich weiß zwar, dass bei [mm] f^2 [/mm] =f gilt, dass ker f ein Komplement von im f ist, aber was soll ich damit machen?
bzw. bringt mich das irgendwie weiter?
LG Ray
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein endlichdimensionaler K-VR und f: V [mm]\to[/mm] V eine
> lineare Abbildung mit [mm]f^2[/mm] = f.
> Zeigen Sie, dass es eine Basis B von V gibt, so dass die
> darstellende Matrix A von f bezüglich B die Gestalt
>
> A= [mm]\pmat{ I_r & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> hat, wobei r [mm]\in \IN[/mm] und [mm]I_r[/mm] die r-dimensionale
> Einheitsmatrix bezeichnet.
> Hallo Leute,
> habe (mal wieder) eine frage.
> mein problem ist einfach, das ich nicht mit diesem [mm]f^2[/mm] = f
> rechnen soll
> ich weiß zwar, dass bei [mm]f^2[/mm] =f gilt, dass ker f ein
> Komplement von im f ist, aber was soll ich damit machen?
> bzw. bringt mich das irgendwie weiter?
Es ist V= im(f) [mm] \oplus [/mm] kern(f)
1. Überlege Dir, dass für x [mm] \in [/mm] Im(f) gilt: f(x)=x. Dafür brauchst Du [mm] f^2=f.
[/mm]
2. Sei { [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_r [/mm] } eine Basis von Im(f) und [mm] {b_{r+1}, ..., b_n } [/mm] eine Basis vo kern(f)
Wie sieht nun die Abbildungsmatrix von f bezügl. der Basis { [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_n [/mm] } von V aus ?
FRED
>
> LG Ray
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
hi^^
f(x)=f(f(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] x= f(x) ?
und ist es nicht so, dass
L{ [mm] B_V [/mm] } = L{ [mm] B_{kerf} [/mm] } [mm] \oplus [/mm] L{ [mm] B_{imf} [/mm] } ist?
aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich genau eine abbildungsmatrix bestimme :( mit dem vektorraum der potenzen bekomm ich das hin, aber irgendwie komm ich nicht auf die koordinatenvektoren, wenn es um so eine "allgemeine" matrix geht
was mich eigentlich shcon die ganze zeit verwirrt, wenn es für ein x [mm] \in [/mm] inf gilt, das x = f(x) ist, dann ist doch das die identitätsabbildung oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> hi^^
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> f(x)=f(f(x)) [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x= f(x) ?
????
Ist x \in Im(f), so gibt es ein u \in V mit f(u)=x.
Dann:f(x)=f(f(u))=f(u)=x
>
> und ist es nicht so, dass
> L{ [mm]B_V[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = L{ [mm]B_{kerf}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\oplus[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L{ [mm]B_{imf}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist?
>
> aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich genau eine
> abbildungsmatrix bestimme :( mit dem vektorraum der
> potenzen bekomm ich das hin, aber irgendwie komm ich nicht
> auf die koordinatenvektoren, wenn es um so eine
> "allgemeine" matrix geht
>
> was mich eigentlich shcon die ganze zeit verwirrt, wenn es
> für ein x [mm]\in[/mm] inf gilt, das x = f(x) ist, dann ist doch
> das die identitätsabbildung oder?
Genau, und deswegen [mm] I_r [/mm] !!!
FRED
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
okay also wegen [mm] f^2=f [/mm] gilt ja, dass
wenn z [mm] \in [/mm] imf dann auf z abgebildet wird (identitätsabbildung)
und wenn z [mm] \in [/mm] kerf dann wird z auf 0 abgebildet, nach der definition vom kern
aber leider komm ich jetzt nicht weiter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Langsam habe ich den Eindruck, dass Du nicht weißt, was eine Abb.- Matrix bezüglich einer Basis ist.
Ist das so ?
Wenn, nein: mit den Bez. aus meiner 1. Antwort ist doch:
[mm] f(b_j)=b_j [/mm] , falls j [mm] \in [/mm] { 1,2,..,r } und [mm] f(b_j)=0, [/mm] falls j [mm] \in [/mm] { r+1, ..., n }
Wo ist jetzt noch ein Problem, die Abb.- Matrix bezüglich { [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_n [/mm] } hinzuschreiben ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
kann mir keiner helfen?
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