Lineare Abbildung Drehung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Ernesto |
Einen gemütlichen guten abend
nun zum ernst der Lage
Kann mir vielleicht irgendjemand sagen wie die Lösung zu folgender Aufgabe lautet:
Sei < , > das STandarsskalarprodukt auf [mm] R^2 [/mm] und T : [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] die lineare Abbildung durhc T(x,y) = (-y;x). Dann ist T die Drehung um 90° und es gilt
< u;Tu > = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in R^2
[/mm]
ich habe mich eingehend mit den Definitionen von Skalarprodukt und linearer Abbildung beschäftigt , aber ich bekomme keinen Lösungsweg hin .
Ich bedanke mich schon im vorraus
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Do 21.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Ernesto!
Offenbar gilt:
$T [mm] \pmat{ x \\y} [/mm] = [mm] \pmat{-y \\ x} [/mm] = [mm] \pmat{0 & -1 \\ 1 & 0} \cdot \pmat{x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{\cos(90°) & - \sin(90°) \\ \sin(90°) & \cos(90°)} \cdot \pmat{x \\ y}$.
[/mm]
Weiterhin ist für [mm] $u=\pmat{ x \\ y}$:
[/mm]
[mm] $\langle [/mm] u,Tu [mm] \rangle$
[/mm]
$= [mm] \left\langle \pmat{x \\ y} ,T \ \pmat{x \\ y} \right\rangle$
[/mm]
$= [mm] \left\langle \pmat{x\\y} , \pmat{-y \\ x} \right\rangle$
[/mm]
$= x [mm] \cdot [/mm] (-y) + y [mm] \cdot [/mm] x$
$= 0$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 21.04.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe auch ein Problem mit dieser Aufgabe. Allerdings wurde die eigentliche Aufgabe vergessen zu erwähnen. Diese lautet: Bestimmen Sie alle Skalarprodukte [|] des [mm] R^{2}, [/mm] für die [u|Tu]=0 für alle u [mm] \in R^{2} [/mm] gilt.
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht genau weiß, was mit allen Skalarprodukten gemeint sein soll .. also ich weiß nicht, was bestimmt werden soll. was ist der unterschied zwischen standardskalarprodukt und anderen skalarprodukten? wie sehen andere skalarprodukte aus und wie lassen sie sich allgemein bestimmen?
vielen dank für eure hilfe
LG, Conny.
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Hallo!
Im allgemeinen ist ein Skalarprodukt auf [mm] $\IR^2$ [/mm] so definiert:
Eine Abbildung $b:\ [mm] \IR^2\times\IR^2\to \IR^+_0$ [/mm] heißt Skalarprodukt, falls
1. [mm] $b(x,x)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] und $b(x,x)=0\ [mm] \Leftrightarrow\ [/mm] x=0$. (positive Definitheit)
2. $b(x,y)=b(y,x)$ (Symmetrie)
3. [mm] $b(\alpha x+y,z)=\alpha [/mm] b(x,z)+b(y,z)$ für alle [mm] $\alpha\in\IR,\ x,y,z\in\IR^2$. [/mm] (Linearität)
In diesem Fall muss gelten: $b(u;Tu)=0$ für alle [mm] $u\in\IR^2$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Do 21.04.2005 | | Autor: | Chlors |
Hi,
danke schön für deine Hilfe. Ich versuche, damit mal weiterzukommen.
LG, Conny.
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