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| Aufgabe 1 | [mm] \IC \to \IC; [/mm] z [mm] \mapsto \overline{z} [/mm] (über [mm] \IC)
[/mm]
Bemerkung: Für z [mm] \in \IC [/mm] bezeichnet [mm] \overline{z} [/mm] die zu z konjugiert komplexe Zahl |
| Aufgabe 2 | | [mm] \IC \to \IC; [/mm] z [mm] \mapsto \overline{z} [/mm] (über [mm] \IR) [/mm] |
Also, ich weiß, wie ich beweise, dass eine abb linear ist, aber das über [mm] \IR [/mm] und über [mm] \IC [/mm] iritiert mich total. ich verstehe einfach nict, was ich da machen soll.
Außerdem verstehe ich nicht was mit Für z [mm] \in \IC [/mm] bezeichnet [mm] \overline{z} [/mm] die zu z konjugiert komplexe Zahl gemeint sein soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mo 19.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\IC \to \IC;[/mm] z [mm]\mapsto \overline{z}[/mm] (über [mm]\IC)[/mm]
> Bemerkung: Für z [mm]\in \IC[/mm] bezeichnet [mm]\overline{z}[/mm] die zu z
> konjugiert komplexe Zahl
> [mm]\IC \to \IC;[/mm] z [mm]\mapsto \overline{z}[/mm] (über [mm]\IR)[/mm]
> Also, ich weiß, wie ich beweise, dass eine abb linear
> ist, aber das über [mm]\IR[/mm] und über [mm]\IC[/mm] iritiert mich total.
> ich verstehe einfach nict, was ich da machen soll.
> Außerdem verstehe ich nicht was mit Für z [mm]\in \IC[/mm]
> bezeichnet [mm]\overline{z}[/mm] die zu z konjugiert komplexe Zahl
> gemeint sein soll.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Für z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] (x,y [mm] \in \IR) [/mm] ist [mm] \overline{z}=x-iy
[/mm]
Weiter definieren wir die Abb. f [mm] :\IC \to \IC [/mm] durch [mm] f(z)=\overline{z}
[/mm]
Zu Aufgabe 1:
[mm] \IC [/mm] kan als Vektorraum über dem Körper [mm] \IC [/mm] aufgefasst werden. Du sollst nun entscheiden ob f linear ist.
Zu Aufgabe 2:
[mm] \IC [/mm] kan als Vektorraum über dem Körper [mm] \IR [/mm] aufgefasst werden. Du sollst nun entscheiden ob f linear ist.
FRED
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danke, den teil mit dem z habe ich jetzt verstanden, aber ich verstehe nicht ganz was der unterschied ist, ob ich über dem körper R oder C bin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mo 19.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke, den teil mit dem z habe ich jetzt verstanden, aber
> ich verstehe nicht ganz was der unterschied ist, ob ich
> über dem körper R oder C bin.
Dann probieren wir das mal aus:
Dass die Abbildung f additiv ist , dürfte klar sein [mm] (f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2))
[/mm]
Wir fassen [mm] \IC [/mm] als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] auf:
Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] und z [mm] \in \IC [/mm] ist
[mm] f(\alpha*z)=\alpha*f(z)
[/mm]
zeige das !
Wir fassen [mm] \IC [/mm] als Vektorraum über [mm] \IC [/mm] auf:
Gilt für [mm] \alpha \in \IC [/mm] und z [mm] \in \IC [/mm] wieder
[mm] f(\alpha*z)=\alpha*f(z) [/mm] ?
nein. Belege das durch ein Beispiel.
FRED
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ok, das hab ich fetzt auch verstanden und über R auch hinbekommen.
Jetzt hakts aber bei der aufgabe über C.
da macht mir die eine seite probleme:
f(a*z)=f((a+bi)*(x+yi))=(a*x+a*yi+bi*x-b*y)
ich verstehe nicht ganz wo ich jetzt das [mm] \overline{z} [/mm] benutzen soll.
bei der anderen seite kommt bei mir
a*f(z)=(a+bi)*(x-yi)=a*x-a*yi+bi*x+b*y
raus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Laura,
> ok, das hab ich fetzt auch verstanden und über R auch
> hinbekommen.
> Jetzt hakts aber bei der aufgabe über C.
> da macht mir die eine seite probleme:
> f(a*z)=f((a+bi)*(x+yi))=(a*x+a*yi+bi*x-b*y)
wo ist denn das [mm] $f\,$ [/mm] hin? Hier gilt mit [mm] $\tilde{a}=a+bi\,$ [/mm] (es ist natürlich
falsch, so wie Du geschrieben hattest, [mm] $a=a+bi\,$ [/mm] zu schreiben - aus
[mm] $a=a+bi\,$ [/mm] würde doch [mm] $b=0\,$ [/mm] folgen... vll. meintest Du [mm] $\alpha=a+bi$...):
[/mm]
[mm] $$f(\tilde{a}*z)=f((a+bi)*(x+yi))=f(a*x+a*yi+bi*x-b*y)=ax-by+i*(-ay-bx)\,.$$
[/mm]
> ich verstehe nicht ganz wo ich jetzt das [mm]\overline{z}[/mm]
> benutzen soll.
> bei der anderen seite kommt bei mir
> a*f(z)=(a+bi)*(x-yi)=a*x-a*yi+bi*x+b*y
> raus
Na, das ist doch gut: Du willst hier doch "Nichtlinearität" zeigen - und Fred
gab' Dir den Tipp, das zu tun, indem Du "Nichthomogenität" beweist. Jetzt
setze halt erstmal [mm] $f(\tilde{a}*z)=\tilde{a}*f(z)\,.$ [/mm] Dann wirst Du sehen,
wie man [mm] $\tilde{a}$ [/mm] wählen kann, damit [mm] $f(\tilde{a}*z)\not=\tilde{a}*f(z)\,$
[/mm]
gilt - mit einem geeigneten [mm] $z\,.$
[/mm]
Übrigens wäre die Aufgabe auch schneller gegangen:
Seien $c,z [mm] \in \IC$ [/mm] (ich schreibe lieber [mm] $c\,$ [/mm] anstatt sowas wie [mm] $\tilde{a}$).
[/mm]
Wir wollen gucken, für welche $c,z [mm] \in \IC$ [/mm] nun [mm] $f(c*z)\not=c*f(z)\,$
[/mm]
gilt. (Wenn "es keine solchen $c,z$ geben würde, dann wäre
[mm] $f\,$ [/mm] doch - wie man sagt - homogen.")
Nun gilt aber [mm] $f(c*z)=\overline{c*z}=\overline{c}*\overline{z}$ [/mm] (Beweis?) und es
gilt zudem [mm] $c*f(z)=c*\overline{z}\,.$
[/mm]
Die Gleichung [mm] $f(c*z)=c*f(z)\,$ [/mm] ist dann äquivalent zu [mm] $\overline{c}*\overline{z}=c*\overline{z}\,.$ [/mm]
(Wir schauen uns hier die Gleichung [mm] $f(c*z)=c*f(z)\,$ [/mm] an, weil $f(c*z) [mm] \not=c*f(z)\,$ [/mm]
nichts anderes ist als die Aussage, dass NICHT [mm] $f(c*z)=c*f(z)\,$ [/mm] gilt!)
Diese Gleichung gilt sicher für [mm] $c=0\,$ [/mm] ODER [mm] $\overline{z}=z=0\,.$ [/mm] Sei also $z [mm] \not=0\,.$ [/mm]
(Denn es ist [mm] $\overline{z}\not=0 \gdw [/mm] z [mm] \not=0\,.$) [/mm] Dann folgt
[mm] $$\overline{c}*\overline{z}=c*\overline{z}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \overline{c}=c\,.$$
[/mm]
Wie zeigt man nun also, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht [mm] $\IC$-homogen [/mm] ist? Ganz einfach:
Man wählt ein $z [mm] \not=0\,.$ [/mm] Da kannst Du nun bspw. [mm] $z=1\,,$ [/mm] oder [mm] $z=i\,$ [/mm]
oder auch etwa [mm] $z=1+i\,$ [/mm] wählen - prinzipiell bleibt Dir aber die Wahl frei
bis auf die Ausnahme [mm] $z=0\,.$
[/mm]
Und jetzt finde mal ein $c [mm] \in \IC$ [/mm] so, dass $c [mm] \not=\overline{c}\,$ [/mm] gilt.
Und dann rechne nach, was Du nachrechnen willst:
Du hast dann Zahlen $c,z [mm] \in \IC$ [/mm] so gefunden, dass für diese
$$f(c*z) [mm] \not=c*f(z)$$
[/mm]
gilt...
P.S. Tipp: [mm] $c=\overline{c}$ [/mm] gilt genau dann, wenn $c [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Beweise
das (etwa, indem Du $c=a+bi$ mit $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] schreibst...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Laura64002 |
Super danke, jetzt hats hingehauen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Laura,
> danke, den teil mit dem z habe ich jetzt verstanden, aber
> ich verstehe nicht ganz was der unterschied ist, ob ich
> über dem körper R oder C bin.
vielleicht ist Dir das aus Freds Antwort nun auch klar geworden, aber mal
allgemein:
Kennst Du die Definition eines [mm] $K\,$-Vektorraums $V\,$?
[/mm]
Da gibt's doch eine skalare Multiplikation:
[mm] $$\cdot: [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$$
D.h. etwa, dass für alle [mm] $k\in [/mm] K$ und alle $v [mm] \in [/mm] V$ nun [mm] $k\cdot [/mm] v [mm] \in [/mm] V$
gelten soll.
Bei Dir ist halt einmal [mm] $K=\IR\,,$ [/mm] und ein anderes mal [mm] $K=\IC\,.$ [/mm] (Und
anstatt [mm] $V\,$ [/mm] dann [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] zu nennen, sagt man halt auch, dass
[mm] $V\,$ [/mm] Vektorraum über (dem Körper) [mm] $K\,$ [/mm] sei!)
Gruß,
Marcel
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