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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 17.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung [mm] \mu:\IR^4\to\IR^2 [/mm] vermöge [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\mapsto \mu\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{(x_1.x_3) & \vektor{a\\b}\\x_2-x_4} [/mm]
mit den reelen Parameter [mm] a\not=0 [/mm] , [mm] b\not=0
[/mm]
a, zeige, dass [mm] \mu [/mm] linear ist
b, Die Abbildung [mm] \mu [/mm] lässt sich in der Form [mm] \mu(x)=Ax [/mm] schreiben. Welchen Typ (m,n) muss die Martix A haben? Gebe die Matrix an.
c, Bestimmen sie den Kern von [mm] \mu. [/mm] Welche Dimension hat der Kern ? |
zu 1,
ich muss doch zeigen , dass [mm] \mu(u+v)=\mu(u)+\mu(v) [/mm] und [mm] \mu(a*v)=a*\mu(v) [/mm] ist?
zu 2, ........
zu 3,
Der Kern stellt doch die Menge der Vektoren da. Und über den Dimensionssatz müsst ich dann eigentlich müsst ich doch dann auch die Dimension bestimmen können
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> Gegeben sei die Abbildung [mm]\mu:\IR^4\to\IR^2[/mm] vermöge
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\mapsto \mu\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{(x_1.x_3) & \vektor{a\\b}\\x_2-x_4}[/mm]
> mit den reelen Parameter [mm]a\not=0[/mm] , [mm]b\not=0[/mm]
>
> a, zeige, dass [mm]\mu[/mm] linear ist
> b, Die Abbildung [mm]\mu[/mm] lässt sich in der Form [mm]\mu(x)=Ax[/mm]
> schreiben. Welchen Typ (m,n) muss die Martix A haben? Gebe
> die Matrix an.
> c, Bestimmen sie den Kern von [mm]\mu.[/mm] Welche Dimension hat
> der Kern ?
Hallo!
> zu 1,
>
> ich muss doch zeigen , dass [mm]\mu(u+v)=\mu(u)+\mu(v)[/mm] und
> [mm]\mu(a*v)=a*\mu(v)[/mm] ist?
>
Ganz genau! Also schnapp die zwei beliebige Vektoren und rechne nach,...
> zu 2, ........
>
Nun, deine Abbildung geht von [mm] \IR^4 [/mm] nach [mm] \IR^2. [/mm] Ist nun also [mm] \mu(x)=Ax, [/mm] so kommt dein x aus [mm] \IR^4 [/mm] und das Ergebnis [mm] \mu(x) [/mm] muss in [mm] \IR^2 [/mm] sein. Damit kannst du bestimmt schonmal die Größe der Matrix angeben.
Leider kann ich die Abbildung oben nicht entziffern und kann die daher keinen Tipp für die konkrete Matrix geben. Aber vielleicht bekommst du es ja auch alleine hin.
>
> zu 3,
> Der Kern stellt doch die Menge der Vektoren da. Und über
> den Dimensionssatz müsst ich dann eigentlich müsst ich doch
> dann auch die Dimension bestimmen können
Der Kern ist die Menge von Vektoren, die auf Null abegildet werden! Du musst also alle x bestimmen für die Ax=0 ist. Und da du diese angeben musst, solltest du insbesondere eine Basis des Kerns angeben. Damit hast du dann auch seine Dimension.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 18.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
zu 1,
mein Problem liegt hier darin, daß ich keine Konkreten Vektoren habe. Wähle ich einfach irgendwelche Vektoren ,z.B: u= [mm] \vektor{1 \\2\\4\\1} [/mm] und v= [mm] \vektor{-1\\3\\2\\0 } [/mm] um dann mit [mm] \mu\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] zu multiplizieren etc
Aber wie komme ich dann auf die Matrix die in der Aufgabe steht?
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Hallo Marc,
> zu 1,
>
> mein Problem liegt hier darin, daß ich keine Konkreten
> Vektoren habe. Wähle ich einfach irgendwelche Vektoren
> ,z.B: u= [mm]\vektor{1 \\2\\4\\1}[/mm] und v= [mm]\vektor{-1\\3\\2\\0 }[/mm]
> um dann mit [mm]\mu\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}[/mm] zu
> multiplizieren etc
Was willst du womit multilpizieren???
> Aber wie komme ich dann auf die Matrix die in der Aufgabe
> steht?
Welche Matrix meinst du denn überhaupt?
Außerdem ist die Abbildung immer noch nicht ganz klar, was steht da in der ersten Komponente?
Ist da etwa [mm] $(x_1\red{,}x_3)\cdot{}\vektor{a\\b}$ [/mm] gemeint?
Das, was da oben steht mit dem Punkt ergibt irgendwie keinen Sinn!
Bedenke, dass [mm] $(x_1,x_3)\cdot{}\vektor{a\\b}=ax_1+bx_3$ [/mm] ist.
Damit kannst du doch die Linearität nachrechnen ...
Dazu darfst du aber keine konkreten Vektoren hernehmen, sondern allgemeine, etwa [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}=\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}$
[/mm]
Dann rechne stumpf [mm] $\mu(\vec{x}+\vec{y})$ [/mm] aus und [mm] $\mu\vec{x}+\mu(\vec{y})$
[/mm]
Wie man [mm] $\vec{x}+\vec{y}$ [/mm] berechnet, weißt du hoffentlich ..
Ebenso rechne aus: [mm] $\alpha\cdot{}\mu(\vec{x})$ [/mm] und [mm] $\mu(\alpha\cdot{}\vec{x})$ [/mm] ...
Das ist nicht schwer, einfach geradeheraus ausrechnen ...
Aaah, mir geht gerade ein Lichtlein auf, meinst du mit der Matrix, die du suchst, die Matrix A aus Aufgabe (b) ?
Wie berechnet man denn die Darstellungsmatrix zu einer linearen Abbildung?
Nimm die die Standardbasen des [mm] $\IR^4$ [/mm] und des [mm] $\IR^2$ [/mm] her, also [mm] $\mathbb{B}=\left\{\vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0},\vektor{0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\1}\right\}$ [/mm] und [mm] $\mathebb{C}=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}$
[/mm]
Berechne die Bilder der Basisvektoren aus [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] unter [mm] $\mu$ [/mm] und stelle diese Bilder als LK der Basisvektoren aus [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] dar. Die Koeffizienten in dieser LK stopfe als Spalten in die gesuchte Matrix A
LG
schachuzipus
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