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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 13.02.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Leute
Ich bin grad am lernen für meine Klausur morgen.
Hab da aber noch ne Aufgabe, wo ich irgendwie nicht auf das ergebnis komme.
Existiert eine lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] W mit der Eigenschaft
f(−1,−1, 2) = (−2,−1)
f(−1, 1, 1) = (−2, 2)
f(−2, 1,−1) = (−4,−1)
Ich hab nachgerechnet das linear unabhängig ist.
aber wie kommt man jetzt auf die Lösung:
f(x, y, z) = (2x, x + 2y + z).
Irgendwie komme ich mit meinen Rechnungen nicht dorthin...
Vielleicht habt ihr ja ne Idee?
Thomas
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Hallo, ThomasK
$u = [mm] a_u*x+b_u*y+c_u*z$
[/mm]
$v = [mm] a_v*x+b_v*y+c_v*z$
[/mm]
1te Zeile u: $-2 = [mm] -1a_u-1b_u+2c_u$
[/mm]
2te Zeile u: $-2 = [mm] -1a_v+1b_u+1c_u$
[/mm]
3te Zeile: u $-4 = [mm] -2a_u+1b_u-1c_u$
[/mm]
entsprechendes für v; das angeführte Ergebnis stimmt
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Hallo Thomas!
Du weißt schon, dass f linear ist, außerdem sind [mm] v_1=\vektor{ -1 \\ -1 \\ 2}, v_2=\vektor{ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] v_3\vektor{ -2 \\ 1 \\ -1} [/mm] lin. unabhängig, stellen also eine Basis von V dar.
Die Matrixdarstellung von f bezüglich dieser Basis und der kanonischen Basis von W lautet also: [mm] B=\pmat{ -2 & -2 & -4\\ -1 & 2 & -1 }
[/mm]
(Anwendung der Formel: [mm] f(v_j)= \summe_{i=1}^{2}b_{ij}w_i [/mm] mit [mm] w_1=\vektor{1\\0} [/mm] und [mm] w_2=\vektor{0\\1})
[/mm]
Du willst allerdings die Matrixdarstellung von f bezüglich der kanonischen Basen von V und W haben. Also musst du deine Basis von V transformieren.
Als Transformationsmatrix sieht man sofort [mm] P=\pmat{ -1 & -1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1} (=(v_1 v_2 v_3))
[/mm]
Also: [mm] f\left(\vektor{x\\y\\z}\right)=B\cdot P^{-1}\vektor{x\\y\\z}=\pmat{ 2 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1} \cdot\vektor{x\\y\\z}=\vektor{2x\\x+2y+z}
[/mm]
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 So 13.02.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Danke es hat jetzt geklappt 
Thomas
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