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Hi Ihr,
hier meine Aufgabe:
Gegeben seien die Vektoren:
[mm] u1=\vektor{1\\ 2\\1\\1}, u2=\vektor{2\\1\\0\\0} [/mm] und [mm] u3=\vektor{0\\3\\2\\3}
[/mm]
in [mm] \IR^4; [/mm] es sei U:=<u1,u2,u3>=Lin(u1,u2,u3) der von Ihnen erzeugte Unterraum.
a) Welche Dimension kann der Unterraum f(U) = {f(u)| u [mm] \in [/mm] U} von [mm] \IR^3 [/mm] für eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^4 \to \IR^3 [/mm] haben?
b) Geben Sie für jede der Möglichkeiten für dim(f(U)) aus Teil a) alle Möglichkeiten für dim(Ker(f)) aus Teil a) an.
Das ist die Aufgabe.
Ich habe mir schon ein paar Gedanken über die Aufgabe gemacht und in unserem Skript nachgeschaut und dort steht:
Satz 6.1 (Dimensionsformel für lineare Abbilung)
V und W seien endlichdimensionale K-Vektorräume, f:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung, Dann gilt:
Ist U' ein komplementärer Unterraum zu U:=Ker(f) (also U + U' = V, U [mm] \cap [/mm] U' = {0}), so gilt insbesondere:
dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim V
Meine Frage ist nun was dim V ist, da V ja die Ausgangsmenge der Funktion ist, müsste es ja normalerweise in unserer Aufgabe [mm] \IR^4 [/mm] sein, aber wir sollen ja die Dimension von f(U) betrachten und dann müsste doch dim(V) = dim(U) = 3 sein, oder?
Habt Ihr eine Idee für diese Aufgabe? Wie kann man diese Aufgabe dann weiterlösen?
Wäre froh, wenn mir jemand sagen würde, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
MfG Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 27.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi Ihr,
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> hier meine Aufgabe:
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> Gegeben seien die Vektoren:
> [mm]u1=\vektor{1\\ 2\\1\\1}, u2=\vektor{2\\1\\0\\0}[/mm] und
> [mm]u3=\vektor{0\\3\\2\\3}
[/mm]
> in [mm]\IR^4;[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
es sei U:=<u1,u2,u3>=Lin(u1,u2,u3) der von
> Ihnen erzeugte Unterraum.
> a) Welche Dimension kann der Unterraum f(U) = {f(u)| u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> U} von [mm]\IR^3[/mm] für eine lineare Abbildung [mm]f:\IR^4 \to \IR^3[/mm]
> haben?
> b) Geben Sie für jede der Möglichkeiten für dim(f(U)) aus
> Teil a) alle Möglichkeiten für dim(Ker(f)) aus Teil a)
> an.
>
>
> Das ist die Aufgabe.
>
> Ich habe mir schon ein paar Gedanken über die Aufgabe
> gemacht und in unserem Skript nachgeschaut und dort
> steht:
>
>
> Satz 6.1 (Dimensionsformel für lineare Abbilung)
> V und W seien endlichdimensionale K-Vektorräume, f:V [mm]\to[/mm] W
> eine lineare Abbildung, Dann gilt:
> Ist U' ein komplementärer Unterraum zu U:=Ker(f) (also U +
> U' = V, U [mm]\cap[/mm] U' = {0}), so gilt insbesondere:
>
> dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim V
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> Meine Frage ist nun was dim V ist, da V ja die
> Ausgangsmenge der Funktion ist, müsste es ja normalerweise
> in unserer Aufgabe [mm]\IR^4[/mm] sein, aber wir sollen ja die
> Dimension von f(U) betrachten und dann müsste doch dim(V) =
> dim(U) = 3 sein, oder?
Ja richtig, damit man mit obenstehender Dimensionsformel zu arbeiten, muss man die Einschränkung
[mm] $f|_U: U\to\IR^3$ [/mm] betrachten. (Also $V=U$ und [mm] $W=\IR^3$)
[/mm]
mfG Moudi
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> Habt Ihr eine Idee für diese Aufgabe? Wie kann man diese
> Aufgabe dann weiterlösen?
>
> Wäre froh, wenn mir jemand sagen würde, wie ich diese
> Aufgabe lösen soll.
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> MfG Andreas
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