Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie anhand der Definition, ob die Abbildungen linear ist.
f: [mm] R^R [/mm] --> [mm] R^R, [/mm] f (g) := g', wobei für die Funktion
g: R--> R die Funktion g':R --> R
definiert ist durch g'(x) := gvon(1 - x). |
g' ist nicht die Ableitung!
Definition ist:
f(v+w)= f(v)+f(w)
[mm] f(\lambda\*v)= \lambda \* [/mm] f(v)
Kann mir jemand eine Idee geben wie ich anfangen soll? bzw. den Rechenansatz?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Ich rechne Dir mal den ersten Teil der Linearität vor: der Trick ist, dass Du die Funktion [mm]f(v+w)[/mm] auf ein konkretes (aber an sich beliebiges) Argument [mm]x[/mm] anwenden musst, um die Definition von [mm]': g\mapsto g'[/mm] bei der Umformung überhaupt benutzen zu können:
[mm]f(v+w)(x) = (v+w)'(x)= (v+w)(1-x)
= v(1-x)+w(1-x) = v'(x)+w'(x)
= f(v)(x)+f(w)(x)[/mm]
Da wir dies für beliebiges [mm]x[/mm] gezeigt haben, gilt also
[mm]f(v+w) &= f(v)+f(w)[/mm]
Nun versuch's selbst mit dem zweiten Teil: vom Durchspielenmüssen der Definition von [mm]':g\mapsto g'[/mm], vorwärts und rückwärts, einfach nicht verwirren lassen...
|
|
|
| |
|
g( [mm] \lambda [/mm] v)(x) = [mm] (\lambda [/mm] v)'(x)= [mm] (\lambda [/mm] v)(1-x) = [mm] \lambda [/mm] v(1-x)= [mm] \lambda [/mm] v'(x)= [mm] \lambda [/mm] g(v)(x)
so?
|
|
|
| |
|
Nee, nicht genau so, aber ungefähr (ungefähr ist aber in der Mathematik leider nicht genau genug). Du musst Dir klarmachen, dass der Funktionsname [mm]g[/mm] nur benutzt wurde, um die auf Funktionen operierende Abbildung [mm]f: g\mapsto g'[/mm] überhaupt definieren zu können.
Du willst zeigen, dass die Funktion [mm]f[/mm] linear ist. Dass also insbesondere [mm]f(\lambda v)=\lambda f(v)[/mm] für alle Funktionen [mm]v:\IR\rightarrow \IR[/mm] gilt. Sei wieder [mm]x[/mm] beliebig (wir wollen ja zeigen, dass zwei Funktionen gleich sind, nämlich die beiden Funktionen [mm] f(\lambda v), \lambda f(v):\IR\mapsto \IR[/mm]; sie sind es genau dann, wenn sie für alle Argumente [mm]x[/mm] denselben Wert liefern):
[mm]f(\lambda v)(x) = (\lambda v)'(x) = (\lambda v)(1-x)= \lambda \big(v(1-x)\big) = \lambda \big(v'(x)\big)=\lambda \big(f(v)(x)\big)
= (\lambda f(v))(x)[/mm]
Ich muss aber zugeben, das an diesen Umformungen so wenig Substanz ist, dass einem nach erledigter Umformung leicht ein schales Gefühl zurückbleiben kann...
|
|
|
|
