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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 18.03.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | Seien V und W K-VR und f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Seien [mm] v_{1},...,v_{n}\in [/mm] V und [mm] w_{1},...,w_{n}\in [/mm] W.
Behauptung:
{ [mm] v_{i}:i=1,...,n [/mm] } linear abhängig [mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] f(v_{i}):i=1,...,n [/mm] } linear abhängig |
Hallo,
mein Beweis dazu lautet:
Da [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] linear abhängig sind, existieren [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n}\in [/mm] K mit:
[mm] \lambda_{1}v_{1},...,\lambda_{n}v_{n}=0 [/mm] und nicht alle [mm] \lambda_{i}=0, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] k\in [/mm] {1,...,n} mit [mm] \lambda_{k}\not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow f(\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{k}v_{k}...+\lambda_{n}v_{n})=f(0)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}f(v_{1})+...+\lambda_{k}f(v_{k})+...+\lambda_{n}f(v_{n})=0, [/mm] wobei [mm] \lambda_{k}\not= [/mm] 0 ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] f(v_{1}),... f(v_{n}) [/mm] } ist linear abhängig.
Mein Prof hat leider als Lösung angegeben, dass die Behauptung falsch sei. Ist mein Beweis falsch?
Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
Danke,
clover
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> Behauptung:
> [mm] \{v_{i}:i=1,...,n \} [/mm] linear abhängig [mm] \Rightarrow \{f(v_{i}):i=1,...,n\} [/mm] linear abhängig
> Mein Prof hat leider als Lösung angegeben, dass die
> Behauptung falsch sei. Ist mein Beweis falsch?
Hallo,
die Behauptung stimmt, und Dein Beweis ist richtig.
Gruß v. Angela
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