Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mo 04.09.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | Sei { [mm] e_1,e_2,e_3 [/mm] } eine Basis des R-Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] und B eine Basis des R-Vektorraum [mm] \IR^4. [/mm] Dann gibt es genau eine lineare Abbildung [mm] \delta: R^3 \to R^4 [/mm] mit:
[mm] \delta(e_1)= [/mm] (1,-3,2,4)
[mm] \delta(e_2) [/mm] = (5,-3,0,2)
[mm] \delta(e_3) [/mm] = (-2,0,1,1)
Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 4 \\ 5 & -3 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 1 & 1} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komm leider nicht so wirklich mit dem Thema "Lineare Abbildungen" klar.
Lineare Abbildungen sind nach Def:
Seien X und Y zwei K-Vektorräume.
Eine Abbildung [mm] \delta: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y heißt lineare Abbildung, wenn gilt:
(i) [mm] \delta(\vec{x_1}+\vec{x_2}) [/mm] = [mm] \delta(\vec{x_1}+\vec{x_2}) [/mm]
(ii) [mm] \delta (c\vec{x}) [/mm] = c [mm] \delta(\vec{x})
[/mm]
Die lineare Abb. in der Aufgabe habe ich aus meinem Skript.
Meine Frage:
Wie überprüft man, dass die gegebene lineare Abbildung aus der obigen Aufgabe wirklich eine lineare Abbildung ist?
Ist [mm] R^3 [/mm] durch die Zeilen und [mm] R^4 [/mm] durch die Spalten in der Matrix dargestellt??
Könnte mir bitte jemand, anhand eines Beispiel einer linearen Abbildung die Matrixschreibweise erläutern?
Danke im Voraus.
cloe
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Hallo,
zeig doch allgem ein, dass eine lineare Abbildung durch die Funktionswerte auf einer Basis bereits eindeutig bestimmt ist.
Allgemein: Seien V und W k-Vektorräume, K ein bel. Körper. Sei [mm] B=\{b_i|i\in I\} [/mm] eine Basis von V. Dann gibt es zu jeder Familie
von Vektoren [mm] w_i,i\in [/mm] I mit [mm] w_i\in W,i\in [/mm] I genau eine lineare Abb. [mm] f\colon V\to [/mm] W mit [mm] f(b_i)=w_i,\: i\in [/mm] I.
Beweis: Zu [mm] v\in [/mm] V gibt es eindeutig bestimmte [mm] a_i\in K,i\in [/mm] I mit [mm] a_i=0 [/mm] für alle bis auf endlich viele [mm] i\in [/mm] I mit
[mm] v=\sum_{i\in I} a_i\cdot b_i.
[/mm]
Dann definiere [mm] f(v):=\sum_{i\in I}a_i\cdot w_i\:\:\: (\star)
[/mm]
Rechne nach, dass dieses so gegebene f linear ist, weiterhin kannst Du leicht zeigen, dass [mm] (\star) [/mm] schon aus der Linearität
von f folgt, somit ist f eindeutig.
Gruss,
Mathias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 Mo 04.09.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
der Zusammenhang zwischen Matrix und linearer Abbildung ist doch, dass jede Matrix als lineare Abbildung darstellbar ist und dass jede lineare Abbildung als Matrix darstellbar ist.
Könnte mir da bitte jemand Beispiele zu geben. Ich weiß nicht so recht, wie sowas aussehen soll.
Danke im voraus.
cloe
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Hallo!
> der Zusammenhang zwischen Matrix und linearer Abbildung ist
> doch, dass jede Matrix als lineare Abbildung darstellbar
> ist und dass jede lineare Abbildung als Matrix darstellbar
> ist.
>
> Könnte mir da bitte jemand Beispiele zu geben. Ich weiß
> nicht so recht, wie sowas aussehen soll.
Vielleicht hilft dir diese Erklärung hier?
Oder folgende Diskussion?
Ansonsten schau doch mal in unsere Mathebank und beachte vor allem die dort am Ende des Artikels angegebenen Links.
Außerdem besitzt dieses Forum noch eine Suchfunktion - oben rechts, wenn du dort "lineare Abbildung" oder auch "Darstellungsmatrix" eingibst, dürftest du etliche Diskussionen finden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 06.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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