Lineare Abbildung !? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit
a) f [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
b) f [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 2}
[/mm]
c) f [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] |
Hallöchen mal wieder !
Bitte bringt mir einer von euch mir mal irgendeine Erleuchtung  ! Ist eigentlich irgendwie ganz einfach, aber irgendwie hab ich da ein volles Brett vorm Kopf ...
Muss ja nur zeigen, daß diese Abbildung linear ist:
Und würd doch so gehen, oder !?
Eine Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x,y [mm] \in [/mm] V und a [mm] \in [/mm] K die folgenden Bedingungen gelten:
f ist homogen: a * f (x) = f (a*x) ;
f ist additiv: f (x+y) = f (x) + f (y) ;
Und jetzt müsste ich diese Eigenschaften auf meine gegebene Sachen anwenden, aber das krige ich nicht gebacken ...
Danke, und viele liebe Grüße !
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 04.05.2006 | | Autor: | Jan_Z |
hallo julchen,
du musst jeweils den vektor, der als argument von f auftritt, als ein basiselement des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] auffassen und dann zu einer basis ergänzen. dann definierst du die lin. abb. indem du sie auf den basiselementen definierst. es ist ja gefordert, dass du beispielsweise in a) der vektor (0,1) auf (0,1) abbildest. den neu hinzugekommenen basisvektor bildest du einfach irgendwohin ab, wohin, ist egal.
beispiel:
a) ergänze (0,1) durch (1,1) zu einer basis von [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] definiere eine lin. abb. durch f(0,1)=(0,1) und f(1,1)=(5,5).
viele grüße,
jan
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