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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Hanz |
Moin Moin!
Folgende Aufgabe:
Sei K ein Körper und P [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K) eine Matrix, für die P²=P gilt. Sei f die K-lineare Abbildung f: [mm] K^n \to K^n, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Px. Wir setzen [mm] r:=dim_K [/mm] Im(f) = Rang(P).
a) Zeigen Sie: [mm] K^n=Im(f) \oplus [/mm] Ker(f)
b) Zeigen Sie: die direkte Summenzerlegung aus Teilaufgabe a) ist eine Zerlegung in Eigenräume von P. Zu welchen Eigenwerten?
c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von P und geben Sie alle mögliche Minimalpolynome für P an. Geben Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte von P an.
d) Zeigen Sie: P ist diagonalisierbar. Weisen Sie damit nach, dass r=Spur(P) gilt.
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Sooo, P ist also eine (nxn)-Matrix mit besonderer Gestalt und zwar P²=P. Meiner Überlegung nach kann dies nur eine Matrix sein, die nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat und diese Einträge dürfen nur 0 oder 1 sein.
Aufgabe a):
Hier muss man glaube ich mit den Dimensionen argumentieren. [mm] K^n [/mm] hat die Dimension n, also muss gelten n=dim Im(f) [mm] \oplus [/mm] dim Ker(f). f ist doch ein Endomorphismus und die direkte Summe setzt lineare unabhängigkeit voraus (oder täusche ich mich?), dann müsste die Matrix doch vollen Rang haben und somit n = n + 0 gelten, oder?
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Aufgabe b):
Da auf der Diagonalen nur 1 stehen, gibt es doch nur den EW 1 n-Mal?
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Aufgabe c):
Das char. Polynom müsste doch [mm] (x-1)^n [/mm] lauten, oder? [mm] v_{alg} [/mm] = [mm] v_{geom} [/mm] = n
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Aufgabe d):
Die verstehe ich nicht ganz, weil die Matrix doch schon eine Diagonalmatrix ist....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Sa 09.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Sooo, P ist also eine (nxn)-Matrix mit besonderer Gestalt
> und zwar P²=P. Meiner Überlegung nach kann dies nur eine
> Matrix sein, die nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat
> und diese Einträge dürfen nur 0 oder 1 sein.
Naja, das stimmt nur nach Umwandlung in Normalform.
> Hier muss man glaube ich mit den Dimensionen
> argumentieren. [mm]K^n[/mm] hat die Dimension n, also muss gelten
> n=dim Im(f) [mm]\oplus[/mm] dim Ker(f).
Ja, die Diemensionsformel hilft!
> f ist doch ein
> Endomorphismus und die direkte Summe setzt lineare
> unabhängigkeit voraus (oder täusche ich mich?),
Du täuscht dich hier - betrachte einfach mal die Nullmatrix! Zeige viel mehr: wenn x im Kern und im Bild ist, dann ist war es schon der Nullvektor. Mit Dim.formel erhält man dann die gewünschte Zerlegung.
Der Rest ist also Folgefehler.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Hanz |
> Naja, das stimmt nur nach Umwandlung in Normalform.
Aber für welche Matrizen gilt denn P²=P außer für Diagonalmatrizen mit 1 oder Null auf der Hauptdiagonalen?
> > Hier muss man glaube ich mit den Dimensionen
> > argumentieren. [mm]K^n[/mm] hat die Dimension n, also muss gelten
> > n=dim Im(f) [mm]\oplus[/mm] dim Ker(f).
>
> Ja, die Diemensionsformel hilft!
Ich weiss aber irgendwie nicht wie ich auf die Dimension des Kernes bzw. des Bildes schließen kann :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> > Naja, das stimmt nur nach Umwandlung in Normalform.
>
> Aber für welche Matrizen gilt denn P²=P außer für
> Diagonalmatrizen mit 1 oder Null auf der Hauptdiagonalen?
Für dazu konjugierte offenbar auch!
> > > Hier muss man glaube ich mit den Dimensionen
> > > argumentieren. [mm]K^n[/mm] hat die Dimension n, also muss gelten
> > > n=dim Im(f) [mm]\oplus[/mm] dim Ker(f).
> >
> > Ja, die Diemensionsformel hilft!
>
> Ich weiss aber irgendwie nicht wie ich auf die Dimension
> des Kernes bzw. des Bildes schließen kann :/
Geht nicht, das kann alles sein - hilft nur so folgern, dass die Summe den ganzen VR aufspannt, wenn der Schnitt nur 0 ist.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 So 10.05.2009 | | Autor: | Hanz |
Dann versuchen wir es nochmal...
Zu a):
Der [mm] K^n [/mm] hat die Dimension n, folglich muss nach Dimensionsformel Im(f) und Ker(f) ebenfalls zusammen die Dimension n haben.
Im(f) [mm] \oplus [/mm] Ker(f) =0 [mm] \gdw [/mm] Im(f) [mm] \cap [/mm] Ker(f) = {0}, also spannen sie den ganzen VR auf.
Zu b):
Die EW sind nun 0 und 1, weil nur 0 und 1 quadriert wieder 0 und 1 ergeben.
Muss gelten: Im(f) [mm] \oplus [/mm] Ker(f) = Eig(P,1) [mm] \oplus [/mm] Eig(P,0). Muss hier eine direkte Summe stehen oder reicht auch ein normales +?
Eig(P,0)=Ker(f) gilt, da der Kern gerade die Null ist.
Eig(P,1)=Im(f) gilt, da die Spaltenvektoren die eine 1 in der Matrix stehen haben, gerade linear unabhängig zueiandner sind.
Bei c) bin ich nun ratlos, weil ich ja nicht genau weiss, wie meine Matrix ausschaut, wie kann ich hier ansetzen um das charak. Polynom zu bestimmen?
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zu c)
du kannst erstmal die möglichen minimalpolynome bestimmen. du weißt über die matrix, dass P²=P bzw. P²-P=0 gilt...
Für das char. polynom musst du nur noch die linearfaktoren des minimalpolynoms entsprechend der geometrischen vielfachheit potenzieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Im(f) [mm]\oplus[/mm] Ker(f) =0 [mm]\gdw[/mm] Im(f) [mm]\cap[/mm] Ker(f) = {0}, also
> spannen sie den ganzen VR auf.
Du meinst in der ersten Gleichung wohl =V, oder?
> Die EW sind nun 0 und 1, weil nur 0 und 1 quadriert wieder
> 0 und 1 ergeben.
Öhm. Wie willst du das jetzt folgern? Das char. Polynom solslt du ja erst später bestimmen. Man kann für die Unterräume Kern und Bild direkt ansetzen!
> Muss gelten: Im(f) [mm]\oplus[/mm] Ker(f) = Eig(P,1) [mm]\oplus[/mm]
> Eig(P,0). Muss hier eine direkte Summe stehen oder reicht
> auch ein normales +?
Es ist immer eine direkte Summe.
> Eig(P,0)=Ker(f) gilt, da der Kern gerade die Null ist.
Nun ja, wie sind denn EW und ER definiert?
> Eig(P,1)=Im(f) gilt, da die Spaltenvektoren die eine 1 in
> der Matrix stehen haben, gerade linear unabhängig
> zueiandner sind.
Spaltenvektoren mit 1? Wie willst du argumentieren? Du müsstest doch abstrakt ansetzen: nehme ein [m]x\in Im(f)[/m] ...
> Bei c) bin ich nun ratlos, weil ich ja nicht genau weiss,
> wie meine Matrix ausschaut, wie kann ich hier ansetzen um
> das charak. Polynom zu bestimmen?
Du hast die ER-Zerlegung nach der b) gegeben, daraus ergibt sich das char. Polynom.
SEcki
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hallo,
ich sitze gerade an der selben aufgabe.
für die eigenwerte habe ich 1 und 0 herausbekommen und, dass die zugehörigen eigenräume ker f und im f sind ebenfalls.
nun habe ich allerdings ein problem mit c).
es gilt ja: P²=P, bzw. P²-P=0
mögliche minimalpolynome wären also teiler von f(x)=x(x-1), also x und (x-1).
nun bin ich allerdings nicht sicher, wie ich die geometrische/algebraische vielfachheit bestimmen kann...
ist die dimension des kerns, also die geometrischen vielfachheit des eigenwerts 0, gleich 1 - ist ja im prinzip die achse, an der projeziert wird, oder?
dann wäre die vielfachheit von (x-1) natürlich gleich n-1 und, da das minimalpolynom mit verrät, dass P diagonalisierbar ist, muss die algebraische vielfachheit übereinstimmen.
vielen dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:30 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> für die eigenwerte habe ich 1 und 0 herausbekommen und,
> dass die zugehörigen eigenräume ker f und im f sind
> ebenfalls.
Jupp.
> nun habe ich allerdings ein problem mit c).
>
> es gilt ja: P²=P, bzw. P²-P=0
> mögliche minimalpolynome wären also teiler von
> f(x)=x(x-1), also x und (x-1).
f ist demnach kein Teiler von f?!
> nun bin ich allerdings nicht sicher, wie ich die
> geometrische/algebraische vielfachheit bestimmen kann...
Für die geom. hast du ja oben die ER schon berechnet, wie sieht denn das char. Polynom aus?
> ist die dimension des kerns, also die geometrischen
> vielfachheit des eigenwerts 0, gleich 1 - ist ja im prinzip
> die achse, an der projeziert wird, oder?
Bitte was? Die geom Vielfachheit ist die Dimension des ER zu dem zugehörigen EW.
> dann wäre die vielfachheit von (x-1) natürlich gleich n-1
> und, da das minimalpolynom mit verrät, dass P
> diagonalisierbar ist, muss die algebraische vielfachheit
> übereinstimmen.
Aber das wissen wir doch eh schon, oder?!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 10.05.2009 | | Autor: | erisve |
Hallo,
auch ich sitze gerade an dieser Aufgabe.
Zu b)
Es ist ja klar, dass Ker(f)=Eig(P,0) ist, aber wie zeige ich das Eig(P,1)=Im(f) ist?
Und warum kann man folgendes nicht machen?
P²-P=0
P(P-E)=0
da P nicht die Nullmatrix ist, muss P=E sein?
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> Zu b)
> Es ist ja klar, dass Ker(f)=Eig(P,0) ist, aber wie zeige
> ich das Eig(P,1)=Im(f) ist?
Hallo,
überlege Dir zuerst, was es bedeutet, wenn ein Vektor x im Bild von f liegt.
Verwende dann [mm] f^2=f.
[/mm]
> Und warum kann man folgendes nicht machen?
> P²-P=0
> P(P-E)=0
> da P nicht die Nullmatrix ist, muss P=E sein?
Das kann man nicht machen, weil der Ring der Matrizen nicht nullteilerfrei ist.
Daß es nicht stimmt, siehst Du, wenn Du [mm] P=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] nimmst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 10.05.2009 | | Autor: | erisve |
danke für die Antwort, ja das mit dem nicht Nullteilerfrei leuchtet ein =)
Beim anderen bin ich mir noch nicht ganz sicher was ich aufschreiben soll,
also im Bild von f sind auf jeden Fall alle y mit y=Px=P²x
jenes soll nun das selbe wie Eig(P,1)=Ker(P-E) sein.
Aber wie komme ich nun zur Äquvivalenz? Ich hab schon versucht die obere Gleichung irgendwie umzustellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> also im Bild von f sind auf jeden Fall alle y mit y=Px=P²x
[m]=Py[/m], oder?
> jenes soll nun das selbe wie Eig(P,1)=Ker(P-E) sein.
Benutze einfach die direkte Definition von EV und EW - jedes Element aus dem Bild hat nachobiger Gleichung welchen EW? Also mit dem Kern zerlegt sich (wg. der a)!) in welche ER?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 10.05.2009 | | Autor: | erisve |
nein ich meinte eigentlich schon Px denn Py ist ja nicht gleich y.
Ich meine man darf die Gleichung Px=P²x ja nicht einfach durch P teilen, da P nicht invertierbar ist!
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> nein ich meinte eigentlich schon Px denn Py ist ja nicht
> gleich y.
> Ich meine man darf die Gleichung Px=P²x ja nicht einfach
> durch P teilen, da P nicht invertierbar ist!
Hallo,
da hast Du wohl recht. Der richtige Gedanke geht auch völlig anders.
Du hattest
y=Px=P^2x.
Und nun
...=P(Px)= ???
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 So 10.05.2009 | | Autor: | erisve |
ahh darum ist Py=1*y und 1 ein Eigenwert =)
verstehe, folgt denn jetzt automatisch dass Eig(P,1)=Imf ist?
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