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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 15.06.2008 | | Autor: | ereger |
| Aufgabe | Es seien M,N Mengen h:M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung und V ein K-Vektorraum. Man zeige, dass die Abbildung
[mm] \beta [/mm] : Map(N,V) [mm] \to [/mm] Map(M,V), f [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \circ [/mm] h
linear ist.
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Hallo!
Wie ich die Aufgabe verstanden habe, es handelt sich hierbei um eine Komposition von Abbildungen die man als linear nachweisen soll, oder denke ich falsch?
Wie kann ich die Abbildung [mm] \beta [/mm] : Map(N,V) [mm] \to [/mm] Map(M,V), f [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \circ [/mm] h als linear nachweisen?
Soll ich erstmal h:M [mm] \to [/mm] N , danach f:N [mm] \to [/mm] V als linear zeigen, und somit
folgt dass die Abbildung [mm] \beta [/mm] auch linear?
Danke voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien M,N Mengen h:M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung und V ein
> K-Vektorraum. Man zeige, dass die Abbildung
> [mm]\beta[/mm] : Map(N,V) [mm]\to[/mm] Map(M,V), f [mm]\mapsto[/mm] f [mm]\circ[/mm] h
> linear ist.
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> Hallo!
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> Wie ich die Aufgabe verstanden habe, es handelt sich
> hierbei um eine Komposition von Abbildungen die man als
> linear nachweisen soll, oder denke ich falsch?
Hallo,
Du denkst zuviel.
Du sollst das tun, was dort steht: zeigen, daß die Abbildung [mm] \beta [/mm] linear ist.
Also muß für [mm] \beta [/mm] die Linearitätsbedingung nachgewiesen werden.
Nun schauen wir uns erstmal an, welches die Objekte sind, auf die die Abb. [mm] \beta [/mm] angewendet wird:
es sind Funktionen, die von N nach V abbilden.
Also ist zu zeigen, daß für alle f,g [mm] \in [/mm] Map(N,V) und für alle [mm] a,b\in [/mm] K gilt:
[mm] (\*) \beta(af+bg)=a\beta(f) [/mm] + [mm] b\beta(g).
[/mm]
Wie man das zeigt, steht auf einem anderen Blatt, dazu sage ich Dir weiter unten etwas.
Mach' Dir klar, was [mm] \beta(f) [/mm] ist.
Ein Blick auf die Abbildungsvorschrift sagt: [mm] \beta(f):= [/mm] f [mm] \circ [/mm] h.
Dieses h ist lt. Aufgabenstellung fest vorgegeben.
Bevor Du nun startest, mach Dir klar, daß bei [mm] (\*) [/mm] die Gleichheit zweier Funktionen zu zeigen ist.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Also mußt Du für [mm] (\*) [/mm] zeigen, daß für alle [mm] m\in [/mm] M
[mm] (\beta(af+bg))(m)=(a\beta(f) [/mm] + [mm] b\beta(g))(m) [/mm] richtig ist.
Starte mit [mm] (\beta(af+bg))(m)= [/mm] und forme dies um, bis Du am Ende [mm] (a\beta(f) [/mm] + [mm] b\beta(g))(m) [/mm] dastehen hast.
Begründe jeden einzelnen Schritt, denn Du machst, mit der entsprechenden Def..
Wenn Du bis hierher alles verstanden hast, kannst Du langsam beginnen.
Gruß v. Angela
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