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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mo 12.01.2009 | | Autor: | sassa |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende lineare Abbildung
f: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3, [/mm] f [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = x1 [mm] \vektor{1\\ 1 \\ 2} [/mm] + x2 [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + x3 [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3}
[/mm]
liegt der Vektor [mm] \vektor{2 \\ 5 \\7} [/mm] in der Bildmenge der linearen Abbildung f ? |
hi
kann mir jemand sagen was ich da machen muss? , sitze da schon lange dran
ich dachte mir das ich erstmal eine matrix aufstelle
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 } [/mm] .
und dann ein LGS aufstellen mit dem [mm] \vektor{ 2 \\ 5 \\ 7 } [/mm] und der Matrix A
und die Unbekannten ausrechen ?
danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die folgende lineare Abbildung
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> f: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3,[/mm] f [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm] = x1
> [mm]\vektor{1\\ 1 \\ 2}[/mm] + x2 [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + x3
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\3}[/mm]
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> liegt der Vektor [mm]\vektor{2 \\ 5 \\7}[/mm] in der Bildmenge der
> linearen Abbildung f ?
> hi
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> kann mir jemand sagen was ich da machen muss? , sitze da
> schon lange dran
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> ich dachte mir das ich erstmal eine matrix aufstelle
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> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 }[/mm] .
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> und dann ein LGS aufstellen mit dem [mm]\vektor{ 2 \\ 5 \\ 7 }[/mm]
> und der Matrix A
> und die Unbekannten ausrechen ?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du kannst es haargenau so, wie Du sagst, machen.
Die Lösung wird nicht eindeutig sein, da kannst Du Dir dann eine Möglichkeit aussuchen.
---
Wenn Du etwas genauer hinschaust, siehst Du, daß die ersten beiden Vektoren eine Basis des Bildes sind.
Damit weißt Du, daß, sofern der fragliche Vektor im Bild liegt, Du ihn aus diesen beiden Vektoren linearkombinieren können mußt, also mit [mm] x_3=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 12.01.2009 | | Autor: | sassa |
ok aber alles versteh noch nicht so ganz, also ich habe
aus dem LGS raus: x1 = 2-t x2= 3 -t und x 3 = t
also
[mm] \{ \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} = \vektor{2 \\ 3 \\ 0 } + \vektor{-1 \\ -1 \\ 1 } t,t \in \IR \}
[/mm]
und wie find ich jetzt raus ob der vektor [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 7 } [/mm] in der Bildmenge liegt ?
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> ok aber alles versteh noch nicht so ganz, also ich habe
> aus dem LGS raus: x1 = 2-t x2= 3 -t und x 3 = t
> also
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> [mm]\{ \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} = \vektor{2 \\ 3 \\ 0 } + \vektor{-1 \\ -1 \\ 1 } t,t \in \IR \}[/mm]
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> und wie find ich jetzt raus ob der vektor [mm]\vektor{2 \\ 5 \\ 7 }[/mm]
> in der Bildmenge liegt ?
Hallo,
da das Gleichungssystem eine Lösung hat (sogar viele!) , weißt Du im Grunde bereits, daß der Vektor im Bild liegt.
Jetzt nehmen wir uns mal eine Lösung her, aus Gründen der Bequemlichkeit die für t=0, [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0 }.
[/mm]
Du wirst feststellen, daß dieser Vektor durch auf den Vektor $ [mm] \vektor{2 \\ 5 \\7} [/mm] $ abgebildet wird,
und weil es einen Vektor gibt, der auf [mm] \vektor{2 \\ 5 \\7} [/mm] abgebildet wird, ist [mm] \vektor{2 \\ 5 \\7} [/mm] im Bild.
Teste das am besten auch noch mal für eine andere der Lösungen. es ist nicht nur ein Vektor, welcher auf den fraglichen abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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