Linear unabhängige Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:27 Mo 05.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | | Es seien die vektoren a1, a2,....,ar,b1,b2,....bs linear unabhängige Vektoren eines Vektorraumes V. Zeigen Sie <a1,a2,...ar> (Durchschnittszeichen) b1,b2,....,bs. |
Hallo!
Kann mir bitte jemand erklären was ich da machen muss. Soll ich zeigen, dass die beiden linear unabhängigen Vektoren gleich sind, da ein Vektor in V eineindeutig dargestellt wird ( durch eine Basis)?
Liebe Grüsse
Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:53 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Maggi!
> Es seien die vektoren a1, a2,....,ar,b1,b2,....bs linear
> unabhängige Vektoren eines Vektorraumes V. Zeigen Sie
> <a1,a2,...ar> (Durchschnittszeichen) b1,b2,....,bs.
Du hast da wohl etwas vergessen abzutippen... Sollst du zeigen, dass [mm] $\langle a_1, \dots, a_r \rangle \cap \langle b_1, \dots, b_s \rangle [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist? Oder etwas anderes?
Nimm doch mal an, du hast einen Vektor $v [mm] \in \langle a_1, \dots, a_r \rangle \cap \langle b_1, \dots, b_s \rangle$. [/mm] Du musst zeigen, dass $v = 0$ ist.
Es gibt nun [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_r, \mu_1, \dots, \mu_r \in [/mm] K$ mit [mm] $\sum_{i=1}^r \lambda_i a_i [/mm] = v = [mm] \sum_{j=1}^s \mu_j b_j$ [/mm] (ueberleg dir mal warum).
Insbesondere gilt also [mm] $\sum_{i=1}^r \lambda_i a_i [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^s -\mu_j) b_j [/mm] = v - v = 0$. Jetzt weisst du, dass [mm] $a_1, \dots, a_r, b_1, \dots, b_s$ [/mm] linear unabhaengig ist. Was sagt dir das ueber die [mm] $\lambda_i$ [/mm] und [mm] $\mu_j$? [/mm] (Schau dir die Definition von linear (un)abhaengig an wenn dir das nichts sagt.)
Und was sagt dir das dann ueber $v$ aus?
LG Felix
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