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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | Hier werden Vektoren des [mm] R^5 [/mm] als Zeilen geschrieben! Sei U der von
u1:= (0,2,3,−2,1),
u2:= (1,7,7,0,3),
u3:= (1,3,1,4,1),
u4:= (2,8,5,6,3)
erzeugte Untervektorraum. Bestimmen Sie eine Basis von U und untersuchen Sie, ob
a) das System (u1,u2,u3,u4) linear unabhängig ist
b) der Vektor (3,5,−3,−1,1) in U liegt. |
Ich habe u1,..,u4 als Zeilen in eine matrix übertragen. Durch Zeilenumformungen bin ich auf die zeilenstufenmatrix:
[mm]A'= \pmat{1 & 3 & 1 & 4 & 1\\
0 & 2 & 3 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm] gekommen.
r= 2 Stufen, also ist hier der rg(A')=2, ebenso dim U= 2.
ZR(A), somit U, hat die Basis (v1, v2) mit v1 [mm]= \pmat{1 & 3 & 1 & 4 & 1}[/mm] und v2 [mm]= \pmat{0 & 2 & 3 & -2 & 1}[/mm].
Bei der Argumentation mit der linearen Unabhängigkeit kommt ich jetzt ins Straucheln...
Die Frage ist ja, ob das System (u1,...,u4) linear unabhängig ist. Da ich aber durch elementare Zeilenumformungen u3 und u4 zu 0 gemacht habe, ist das doch ein Zeichen, dass das Sytem linear abhängig ist!
Oder nicht? Wenn nicht, bitte erkläre mir das bitte jemand.
Linear unabhängig ist ein System nur dann, wenn [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}= 0, [/mm] nur dann wenn [mm]\lambda_{1}=...=\lambda_{n}=0[/mm].
zu b.) habe ich raus, dass u5 nicht in U liegt, weil er sich einer Matrix mit v1, v2 nicht zu 0 machen lässt.
Diese Matrix B sieht nach Zeilenumformungen so aus:
[mm] \pmat{1 & 3 & 1 & 4 & 1\\
0 & 2 & 3 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & -17 & 0}[/mm]
[/mm]
Über Korrektur und Gespräch zu dieser Aufgabe würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a hast du recht, das hast du praktisch mit den 2 nullzeilen erledigt.
und b ist ja ne einfache Rechnung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Zelda |
Zu b.) weil ich u5 nicht aus v1,v2 erzeugen kann ist u5 kein vektor von u. PUNKT :)
mehr brauche ich nicht in meinem beweis dazu zu schreiben?
Seit beginn des Semesters wäre das somit mein erster vollständig richtiger ALLEIN ausgeführter Beweis. Das wäre zu schön gerade.
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