Linear Abhängig < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, habe noch eine kleine Aufgabe:
Beiweiße oder widerlege folgende Aussage:
Die Vektorenmenge $ [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] $ ist in einem Vektoraum genau dann linear abhängig wenn die Menge $ [mm] \{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \} [/mm] $ linear Abhängig ist
Danke euch |
Meiner Meinung nach eine wahre Aussage
Zuerst die Richt wenn $ [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] $ linear abhängig dann auch $ [mm] \{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \} [/mm] $
Dazu habe ich gesagt, dass
[mm] w_1 [/mm] = [mm] v_1 +v_2 +v_3
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] = [mm] v_2 +v_3
[/mm]
[mm] w_3 =v_3
[/mm]
Nun gilt doch da eine 3 elementige Menge linear abhängig ist:
[mm] \lambda_1 w_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 \not= [/mm] 0
Nun meine "w's" eingesetzt ergibt:
[mm] \lambda_1 (v_1 +v_2 +v_3) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )\not= [/mm] 0
Nun ausmultiplizieren und zusamennfassen:
[mm] v_1 (\lambda_1 [/mm] ) + [mm] v_2 (\lambda_1 +\lambda_2) +v_3 (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 )\not= [/mm] 0
Nun löse ich diese lineare GLS
[mm] \lambda_1 \not= [/mm] 0
[mm] \lambda_1 +\lambda_2 \not= [/mm] 0
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 \not= [/mm] 0
Daraus folt [mm] \lambda_1 [/mm] , [mm] \lambda_2 [/mm] , [mm] \lambda_3 [/mm] sind nicht 0 also linear abhängig.
Nun die Andere Richtung.
Also wenn $ [mm] \{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \} [/mm] $ linear abhängig, dann auch $ [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] $
Ok hier hätte ich wieder angenommen, dass
[mm] w_3 =v_3
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] = [mm] v_2 +v_3
[/mm]
[mm] w_1 [/mm] = [mm] v_1 +v_2 +v_3
[/mm]
Diesmal gilt aber
[mm] v_3 [/mm] = [mm] w_3
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] w_2 -w_3
[/mm]
[mm] v_1= w_1 -w_2
[/mm]
Hier bin ich mir nicht mehr sicher.....
Aber ich hätte nun dieses LGS "zusammenaddiert" und bekomme.
[mm] v_1 +v_2 +v_3 [/mm] = [mm] w_1 [/mm] ( da hier aber nicht 0 steht ist es doch linear abhängig oder?)
Danke für eure Hilfe :)
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Hallo,
nur, weil es so so so schrecklich ist ...
Es heißt "beweisen" mit "s" und hat nichts mit weiß anstreichen zu tun ...
Bitte schreibe das in Zukunft richtig!
Danke!!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 20.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hi, habe noch eine kleine Aufgabe:
>
> Beiweiße oder widerlege folgende Aussage:
>
> Die Vektorenmenge [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] ist in einem
> Vektoraum genau dann linear abhängig wenn die Menge [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm]
> linear Abhängig ist
>
> Danke euch
> Meiner Meinung nach eine wahre Aussage
ja
>
> Zuerst die Richt wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] linear abhängig
> dann auch [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm]
>
> Dazu habe ich gesagt, dass
>
> [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1 +v_2 +v_3[/mm]
> [mm]w_2[/mm] = [mm]v_2 +v_3[/mm]
> [mm]w_3 =v_3[/mm]
>
> Nun gilt doch da eine 3 elementige Menge linear abhängig
> ist:
>
> [mm]\lambda_1 w_1[/mm] + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 \not=[/mm] 0
linear unabhängig, wenn gilt: [mm]\lambda_1*w_1+\lambda_2*w_2+\lambda_3*w_3=0\gdw{\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0}[/mm]
> Nun meine "w's" eingesetzt ergibt:
>
>
> [mm]\lambda_1 (v_1 +v_2 +v_3)[/mm] + [mm]\lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )\not=[/mm] 0
>
> Nun ausmultiplizieren und zusamennfassen:
>
> [mm]v_1 (\lambda_1[/mm] ) + [mm]v_2 (\lambda_1 +\lambda_2) +v_3 (\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3 )\not=[/mm] 0
Setze: [mm]\mu_1:=\lambda_1,\mu_2:=\lambda_1+\lambda_2,\mu_3:=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3[/mm]
Damit [mm]\mu_1*v_1+\mu_2*v_2+\mu_3*v_3=0\Rightarrow{\mu_1=\mu_2=\mu_3=0}[/mm], da [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] nach Voraussetzung lin. unab.
>
> Nun löse ich diese lineare GLS
>
> [mm]\lambda_1 \not=[/mm] 0
> [mm]\lambda_1 +\lambda_2 \not=[/mm] 0
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3 \not=[/mm] 0
>
> Daraus folt [mm]\lambda_1[/mm] , [mm]\lambda_2[/mm] , [mm]\lambda_3[/mm] sind nicht 0
> also linear abhängig.
>
> Nun die Andere Richtung.
> Also wenn [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm] linear
> abhängig, dann auch [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm]
Eigentlich dasselbe wie oben. Man kann mit [mm]\gdw{}[/mm] "arbeiten".
Wenn [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm] lin. unab., so folgt aus
[mm]\lambda_1* (v_1 +v_2 +v_3)+\lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )=0[/mm], dass
[mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm].
Da [mm]0=\lambda_1* (v_1 +v_2 +v_3)+\lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )=\lambda_1*v_1+(\lambda_1+\lambda_2)*v_2+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)*v_3 \gdw{}...[/mm]
Jetzt bist du schon fast am Ziel...
> Ok hier hätte ich wieder angenommen, dass
>
> [mm]w_3 =v_3[/mm]
> [mm]w_2[/mm] = [mm]v_2 +v_3[/mm]
> [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1 +v_2 +v_3[/mm]
>
> Diesmal gilt aber
>
> [mm]v_3[/mm] = [mm]w_3[/mm]
> [mm]v_2[/mm] = [mm]w_2 -w_3[/mm]
> [mm]v_1= w_1 -w_2[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht mehr sicher.....
>
> Aber ich hätte nun dieses LGS "zusammenaddiert" und
> bekomme.
>
> [mm]v_1 +v_2 +v_3[/mm] = [mm]w_1[/mm] ( da hier aber nicht 0 steht ist es
> doch linear abhängig oder?)
>
> Danke für eure Hilfe :)
Gruß
barsch
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> Hallo,
>
> > Hi, habe noch eine kleine Aufgabe:
> >
> > Beiweiße oder widerlege folgende Aussage:
> >
> > Die Vektorenmenge [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] ist in einem
> > Vektoraum genau dann linear abhängig wenn die Menge [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm]
> > linear Abhängig ist
> >
> > Danke euch
> > Meiner Meinung nach eine wahre Aussage
>
> ja
>
> >
> > Zuerst die Richt wenn [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] linear abhängig
> > dann auch [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm]
> >
> > Dazu habe ich gesagt, dass
> >
> > [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1 +v_2 +v_3[/mm]
> > [mm]w_2[/mm] = [mm]v_2 +v_3[/mm]
> > [mm]w_3 =v_3[/mm]
> >
> > Nun gilt doch da eine 3 elementige Menge linear abhängig
> > ist:
> >
> > [mm]\lambda_1 w_1[/mm] + [mm]\lambda_2 w_2 +\lambda_3 w_3 \not=[/mm] 0
>
> linear unabhängig, wenn gilt:
> [mm]\lambda_1*w_1+\lambda_2*w_2+\lambda_3*w_3=0\gdw{\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0}[/mm]
>
hmm ich verstehe nicht wieso ich die lineare unabhängigkeit zeigen soll, wenn es in meiner Angabe doch um lineare Abhängigkeit geht?......
> > Nun meine "w's" eingesetzt ergibt:
> >
> >
> > [mm]\lambda_1 (v_1 +v_2 +v_3)[/mm] + [mm]\lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )\not=[/mm]
> 0
> >
> > Nun ausmultiplizieren und zusamennfassen:
> >
> > [mm]v_1 (\lambda_1[/mm] ) + [mm]v_2 (\lambda_1 +\lambda_2) +v_3 (\lambda_1[/mm]
> + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3 )\not=[/mm] 0
>
>
> Setze:
> [mm]\mu_1:=\lambda_1,\mu_2:=\lambda_1+\lambda_2,\mu_3:=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3[/mm]
>
> Damit
> [mm]\mu_1*v_1+\mu_2*v_2+\mu_3*v_3=0\Rightarrow{\mu_1=\mu_2=\mu_3=0}[/mm],
> da [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] nach Voraussetzung lin. unab.
>
> >
> > Nun löse ich diese lineare GLS
> >
> > [mm]\lambda_1 \not=[/mm] 0
> > [mm]\lambda_1 +\lambda_2 \not=[/mm] 0
> > [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3 \not=[/mm] 0
> >
> > Daraus folt [mm]\lambda_1[/mm] , [mm]\lambda_2[/mm] , [mm]\lambda_3[/mm] sind nicht 0
> > also linear abhängig.
> >
> > Nun die Andere Richtung.
>
> > Also wenn [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm] linear
> > abhängig, dann auch [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm]
>
> Eigentlich dasselbe wie oben. Man kann mit [mm]\gdw{}[/mm]
> "arbeiten".
>
> Wenn [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm] lin. unab., so folgt
> aus
>
> [mm]\lambda_1* (v_1 +v_2 +v_3)+\lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )=0[/mm],
> dass
>
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm].
>
> Da [mm]0=\lambda_1* (v_1 +v_2 +v_3)+\lambda_2 (v_2 +v_3) +\lambda_3 (v_3 )=\lambda_1*v_1+(\lambda_1+\lambda_2)*v_2+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)*v_3 \gdw{}...[/mm]
>
> Jetzt bist du schon fast am Ziel...
Hier hätte ich es iin ein LGS geschrieben mit:
[mm] \lambda_1 [/mm] =0
[mm] \lambda_1+\lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 [/mm] = 0
Auflössen und es folgt [mm] \lambda_1= \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
Somit linear unabhängig
>
>
> > Ok hier hätte ich wieder angenommen, dass
> >
> > [mm]w_3 =v_3[/mm]
> > [mm]w_2[/mm] = [mm]v_2 +v_3[/mm]
> > [mm]w_1[/mm] = [mm]v_1 +v_2 +v_3[/mm]
> >
> > Diesmal gilt aber
> >
> > [mm]v_3[/mm] = [mm]w_3[/mm]
> > [mm]v_2[/mm] = [mm]w_2 -w_3[/mm]
> > [mm]v_1= w_1 -w_2[/mm]
> >
> > Hier bin ich mir nicht mehr sicher.....
> >
> > Aber ich hätte nun dieses LGS "zusammenaddiert" und
> > bekomme.
> >
> > [mm]v_1 +v_2 +v_3[/mm] = [mm]w_1[/mm] ( da hier aber nicht 0 steht ist es
> > doch linear abhängig oder?)
> >
> > Danke für eure Hilfe :)
>
> Gruß
> barsch
>
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Hiho,
> hmm ich verstehe nicht wieso ich die lineare
> unabhängigkeit zeigen soll, wenn es in meiner Angabe doch
> um lineare Abhängigkeit geht?......
Ein bisschen Logik hilft hier schnell:
Es ist doch völlig egal, ob du zeigst:
$a [mm] \gdw [/mm] b$ oder [mm] $\neg [/mm] a [mm] \gdw \neg [/mm] b$
Da aus dem einen sofort das andere folgt.
Denk mal ein bisschen drüber nach 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mo 20.02.2012 | | Autor: | donquijote |
> Hi, habe noch eine kleine Aufgabe:
>
> Beiweiße oder widerlege folgende Aussage:
>
> Die Vektorenmenge [mm]\{v_1, v_2, v_3 \}[/mm] ist in einem
> Vektoraum genau dann linear abhängig wenn die Menge [mm]\{v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3, v_3 \}[/mm]
> linear Abhängig ist
>
Man kann auch so argumentieren:
Sind [mm] \{v_1, v_2, v_3 \} [/mm] linear abhängig, so hat der von den drei Vektoren erzeugte Unterraum U die Dimension [mm] \le [/mm] 2. Somit gibt es in U maximal 2 linear unabhängige Vektoren. Da die drei Vektoren [mm] v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] in U liegen, müssen sie linear abhängig sein.
Die Rückrichtung geht genauso. Dazu ist festzustellen, dass [mm] v_3, v_2=(v_2 +v_3)-v_3 [/mm] und [mm] v_1=(v_1 +v_2 +v_3)-v_3-v_2 [/mm] im von [mm] v_1 +v_2 +v_3, v_2 +v_3 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] erzeugten Unterraum liegen.
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Alles klar, danke für eure Mitteilungen :)
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