Lin. Unabh. im Funktionenraum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $X$ eine endliche linear unabhängige Teilmenge des Funktionenraumes [mm] $\IR^\IR$\,.
[/mm]
Man zeige:
Es gibt eine endliche Teilmenge $E$ von [mm] $\IR$ [/mm] derart, daß [mm] $\{ f|_E \,\,|\,\, f\in X \}$ [/mm] linear unabhängig in [mm] $\IR^E$ [/mm] ist. |
Hallo liebes Forum,
Ich komme bei der o.g. Aufgabe nicht weiter.
Sei [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] . Sei $X := [mm] \{ f_1, \ldots f_n\}\subseteq\IR^\IR$ [/mm] linear unabhängig. Dann gilt:
[mm] \forall \lambda_1, \ldots, \lambda_n\in\IR [/mm] : [mm] \lambda_1\cdot f_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n\cdot f_n [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \{ \lambda_1, \ldots, \lambda_n \}\subseteq\{ 0 \}
[/mm]
Meine Idee ist, für jede Funktion [mm] f_i [/mm] aus $X$ genau ein Element [mm] x_i [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] f_i [/mm] mit bestimmten Eigenschaften herauszupicken und diese [mm] x_i [/mm] in eine Menge E zu packen. Diese Menge E wäre dann endlich, da X auch endlich ist.
Problem ist das Auswahlkriterium dieser Elemente. Die Menge E soll ja die Eigenschaft enthalten, daß [mm] $\{ f|_E \,\,|\,\, f\in X \}$ [/mm] linear unabhängig ist. Jedoch sehe ich noch nicht, wie das erfüllt werden kann.
Hat jemand einen hilfreichen Tipp für mich?
Im voraus bereits vielen Dank für einen Ansatz!!
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> Es sei [mm]X[/mm] eine endliche linear unabhängige Teilmenge des
> Funktionenraumes [mm]\IR^\IR[/mm][mm] \,.[/mm]
>
> Man zeige:
>
> Es gibt eine endliche Teilmenge [mm]E[/mm] von [mm]\IR[/mm] derart, daß [mm]\{ f|_E \,\,|\,\, f\in X \}[/mm]
> linear unabhängig in [mm]\IR^E[/mm] ist.
Hallo,
wenn [mm] (f_1, [/mm] ..., [mm] f_n) [/mm] linear unabhängig sind, dann findet man ja
[mm] a_1,...,a_n \in \IR, [/mm] so daß das lineare GS
[mm] \lambda_1f_1(a_1)+...+\lambda_nf_n(a_1)=0
[/mm]
[mm] \lambda_1f_1(a_2)+...+\lambda_nf_n(a_2)=0
[/mm]
...
[mm] \lambda_1f_1(a_n)+...+\lambda_nf_n(a_n)=0
[/mm]
nur die Lösung [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0 [/mm] hat.
(Wenn man solche [mm] a_i [/mm] nicht fände, wären die [mm] f_i [/mm] eben NICHT linear unabhängig.)
Tja, und nun packen wir die [mm] a_i [/mm] allesamt in die Menge E.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Vielen lieben Dank für die Antwort! Aber ich verstehe sie leider nicht ... :-(
Warum finde ich diese [mm] a_1, \ldots a_n [/mm] ? Wie weise ich z.B. deren Existenz nach? Ich sehe nicht so ganz, warum die Existenz dieser [mm] a_i [/mm] aus der lin. Unabhängigkeit folgt (siehe mein erstes Posting) und bekomme nicht einmal einen Widerspruchbeweis dafür hin?!
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Hallo,
ich glaube, es liegt daran, daß Du die lineare Unabhängigkeit von Funktionen noch nicht richtig verstanden hast.
Ich versuche es Dir für n=3 genau zu erklären.
Nehmen wir uns mal drei Funktionen [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] vor.
Die seien linear unabhängig,
d.h. aus [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Was bedeutet nun [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=0?
[/mm]
Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen übereinstimmen.
Also muß hier für alle x gelten
[mm] (\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3)(x)=0
[/mm]
<==> [mm] \lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)+\lambda_3f_3(x)=0.
[/mm]
Da es für alle x gilt, gilt es also für irgend drei beliebige [mm] b_1, b_2, b_3.
[/mm]
D.h es gilt gleichzeitig
[mm] \lambda_1f_1(b_1)+\lambda_2f_2(b_1)+\lambda_3f_3(b_1)=0
[/mm]
[mm] \lambda_1f_1(b_2)+\lambda_2f_2(b_2)+\lambda_3f_3(b_2)=0
[/mm]
[mm] \lambda_1f_1(b_3)+\lambda_2f_2(b_3)+\lambda_3f_3(b_3)=0,
[/mm]
was man auch so schreiben kann:
[mm] \pmat{ f_1(b_1) & f_2(b_1)&f_3(b_1) \\ f_1(b_2) & f_2(b_2)&f_3(b_2)\\ f_1(b_3) & f_2(b_3)&f_3(b_3)}*\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3}=\vektor{0 \\ 0\\0}.
[/mm]
So. Nun ist ja vorausgesetzt, daß die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind. D.h. irgendwo gibt es [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] so, daß der Rang der Matrix oben =3 ist. Denn sonst würde ja nicht
[mm] \lambda_i=0 [/mm] als einzige Lösung folgen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Danke für die wirklich sehr ausführliche Antwort, aber den "Kern" der Erklärung verstehe ich noch immer nicht.
Lineare Unabhängigkeit dreier Funktionen [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] (wie in dem Beispiel) bedeutet doch umgangssprachlich, daß keine der drei Funktionen eine Linearkombination über die anderen beiden Funktionen ist.
Das wird doch dadurch ausgedrückt, daß für alle [mm] \lambda_i [/mm] gilt:
[mm] \lambda_1 f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 f_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 f_3 [/mm] = 0 ==> [mm] \{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\} \subseteq \{0\}.
[/mm]
(denn wäre ein [mm] \lambda_i \neq [/mm] 0 (o.B.d.A. für i=1), dann ließe sich [mm] f_i [/mm] (bzw. [mm] f_1) [/mm] darstellen als
[mm] f_1 [/mm] = [mm] \frac{\lambda_2}{\lambda_1} f_2 [/mm] + [mm] \frac{\lambda_3}{\lambda_1} f_2 [/mm] ,
also wären die Funktionen lt. Definition l.a.).
Das bedeutet doch aber nicht, daß die Funktionen gleich sein müssen?
Angenommen, die [mm] f_i [/mm] sind konstant, also bspw. [mm] f_1 [/mm] bildet alle Elemente des Definitionsbereiches auf 1 ab, [mm] f_2 [/mm] alle auf die 2 und [mm] f_3 [/mm] alle auf die 3.
Dann gilt doch auch
[mm] (\lambda_1 f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 f_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 f_3)(x) [/mm] = 0 <==> [mm] \lambda_1 f_1(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 f_2(x) [/mm] + [mm] \lambda_3 f_3(x) [/mm] = 0
wenn ich [mm] \lambda_1 [/mm] := [mm] \lambda_2 [/mm] := 1 und [mm] \lambda_3 [/mm] := -1 setze.
Und trotzdem sind die Funktionen dann nicht l.u. ??
Das mit der Gleichheit ist wohl das Problem, ich verstehe nicht, warum aus L.U. Gleichheit folgen soll.
Ich werde das wohl noch verstehen müssen. Trotzdem, danke nochmal.
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> Lineare Unabhängigkeit dreier Funktionen [mm]f_1, f_2, f_3[/mm] (wie
> in dem Beispiel) bedeutet doch umgangssprachlich, daß keine
> der drei Funktionen eine Linearkombination über die anderen
> beiden Funktionen ist.
Hallo,
das ist richtig.
>
> Das wird doch dadurch ausgedrückt, daß für alle [mm]\lambda_i[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\lambda_1 f_1[/mm] + [mm]\lambda_2 f_2[/mm] + [mm]\lambda_3 f_3[/mm] = 0 ==>
> [mm]\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\} \subseteq \{0\}.[/mm]
Auch richtig.
>
> (denn wäre ein [mm]\lambda_i \neq[/mm] 0 (o.B.d.A. für i=1), dann
> ließe sich [mm]f_i[/mm] (bzw. [mm]f_1)[/mm] darstellen als
>
> [mm]f_1[/mm] = [mm]\frac{\lambda_2}{\lambda_1} f_2[/mm] + [mm]\frac{\lambda_3}{\lambda_1} f_3[/mm] ,
>
> also wären die Funktionen lt. Definition l.a.).
Immer noch völlig richtig.
>
> Das bedeutet doch aber nicht, daß die Funktionen gleich
> sein müssen?
Hier muß ich einhaken:
kommt drauf an, was Du mit "die Funktionen gleich" meinst.
Wenn Du stehen hast [mm]f_1[/mm] = [mm]\frac{\lambda_2}{\lambda_1} f_2[/mm] + [mm] \frac{\lambda_3}{\lambda_1} f_3, [/mm] bedeutet dies, daß die Funktion [mm] f_1 [/mm] und die Funktion [mm]\frac{\lambda_2}{\lambda_1} f_2[/mm] + [mm] \frac{\lambda_3}{\lambda_1} f_3 [/mm] gleich sind.
Das heißt, an jeder Stelle stimmen sie überein; also gilt für alle x
[mm]f_1(x)[/mm] = ([mm]\frac{\lambda_2}{\lambda_1} f_2[/mm] + [mm] \frac{\lambda_3}{\lambda_1} f_3)(x) [/mm] =[mm]\frac{\lambda_2}{\lambda_1} f_2(x)[/mm] + [mm] \frac{\lambda_3}{\lambda_1} f_3(x)
[/mm]
> Angenommen, die [mm]f_i[/mm] sind konstant, also bspw. [mm]f_1[/mm] bildet
> alle Elemente des Definitionsbereiches auf 1 ab, [mm]f_2[/mm] alle
> auf die 2 und [mm]f_3[/mm] alle auf die 3.
Gut.
Ich notiere
[mm] f_1(x):=1,
[/mm]
[mm] f_2(x):=2
[/mm]
[mm] f_3(x):=3.
[/mm]
Wir wollen nun herausfinden, ob die linear abhängig oder unabhängig sind.
(Fürs Ergebnis brauchen wir eigentlich nicht zu rechnen, das sieht sogar die Hauskatze: es ist [mm] f_2=2f_1. [/mm] Aber egal: wir WOLLEN ja rechnen!)
>
> Dann gilt doch auch
>
> [mm](\lambda_1 f_1[/mm] + [mm]\lambda_2 f_2[/mm] + [mm]\lambda_3 f_3)(x)[/mm] = 0 <==>
> [mm]\lambda_1 f_1(x)[/mm] + [mm]\lambda_2 f_2(x)[/mm] + [mm]\lambda_3 f_3(x)[/mm] = 0
==> Für alle x gilt
[mm]\lambda_1*1[/mm] + [mm]\lambda_2*2[/mm] + [mm]\lambda_3 *3[/mm] = 0.
Wir haben hier nur eine einzige Gleichung (weil die [mm] f_i [/mm] konstant sind) mit drei Variablen [mm] \lambda_i.
[/mm]
Wir haben gelernt: diese Gleichung hat nicht nur die Lösung [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Eine weitere Lösung ist z.B.
> [mm]\lambda_1[/mm] := [mm]\lambda_2[/mm] := 1 und [mm]\lambda_3[/mm] := -1 .
Und weil wir solch eine Lösung haben, eine von der trivialen Lösung [mm] \lambda_i=0 [/mm] VERSCHIEDENE,
>sind die Funktionen dann nicht l.u.
Ich hoffe, daß Du bis hierher folgen konntest. Denn dem, was Du schreibst, entnehme ich, daß Du durchaus über die wichtigen Dinge Bescheid weißt - etwas Verwirrung bleibt fast nie aus.
Ich möchte noch eine Anmerkung zu der Gleichung [mm]\lambda_1 f_1[/mm] + [mm]\lambda_2 f_2[/mm] + [mm]\lambda_3 f_3[/mm] = 0 machen:
es ist nützlich, sich zu überlegen, was mit der Null auf der rechten Seite gemeint ist. Vielleicht klärt das auch ein bißchen etwas. Das ist NICHT die reelle Zahl 0, sondern die Null des Vektorraumes, in dem wir uns gerade bewegen. Unser Vektorraum ist im Moment der VR der reellen Funktionen. Die rechte Null ist das neutrale Element diese Raumes. Also keine Zahl, sondern eine Funktion(!!!).
Man würde besser schreiben - und ich tue das, wenn bei mir Verwirrung im Anzug ist: [mm]\lambda_1 f_1[/mm] + [mm]\lambda_2 f_2[/mm] + [mm]\lambda_3 f_3[/mm] = n mit n(x):=0.
Erst nächste Schritt ,
für alle x gilt
[mm] \lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)+\lambda_3f_3(x)=n(x)=0,
[/mm]
liefert uns rechts die ganz normale Zahl 0.
Falls Du Zeit und Nerven hast, kannst Du Dir mit den neuen Erkenntnissen überlegen, warum die Funktionen f und g mit f(x):=cosx und g(x):=sinx linear unabhängig sind.
Die Steigerung: warum sind f,g,h linear unabhängig? (f,g wie oben, [mm] h(x):=e^x. [/mm] Das scheint mir sowieso eine beliebte Übungsaufgabe zu sein. Wer weiß, wofür es gut ist.)
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Erst einmal vielen lieben Dank für Deine wiederum sehr ausführlichen Antworten, die es mir schon fast unangenehm machen, noch einmal nachzufragen ...
Nach dem Studium Deiner Antworten, die ich mittlerweile auch einsehe, habe ich dennoch Probleme, eine Sache nachzuweisen, die ich in diesem Fall am besten mit einem Beispiel umschreibe:
Ich nehme mir gemäß Aufgabenstellung endlich viele (in diesem Beispiel 3) Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] her:
[mm] f_1:
[/mm]
1 [mm] \mapsto [/mm] 0
2 [mm] \mapsto [/mm] 1
3 [mm] \mapsto [/mm] 1
x [mm] \mapsto [/mm] 1 für alle [mm] x\in\IR\setminus\{1,2,3\}.
[/mm]
[mm] f_2:
[/mm]
1 [mm] \mapsto [/mm] 1
2 [mm] \mapsto [/mm] 1
3 [mm] \mapsto [/mm] 1
x [mm] \mapsto [/mm] 1 für alle [mm] x\in\IR\setminus\{1,2,3\}.
[/mm]
[mm] f_3:
[/mm]
1 [mm] \mapsto [/mm] 1
2 [mm] \mapsto [/mm] 0
3 [mm] \mapsto [/mm] 1
x [mm] \mapsto [/mm] 1 für alle [mm] x\in\IR\setminus\{1,2,3\}.
[/mm]
nun sind [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] l.u., und es existieren [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] (in diesem Fall also bspw. [mm] x_1 [/mm] = 1, [mm] x_2 [/mm] = 2, [mm] x_3 [/mm] = 3), so daß das folgende LGS
[mm] \lambda_1 \cdot x_1 f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot x_1 f_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot x_1 f_3 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 \cdot x_2 f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot x_2 f_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot x_2 f_3 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 \cdot x_3 f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot x_3 f_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot x_3 f_3 [/mm] = 0
stets die Lösung [mm] (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) [/mm] = (0,0,0) hat.
Ich könnte aber auch [mm] x_1 [/mm] = 1, [mm] x_2 [/mm] = 2 und [mm] x_3 [/mm] = 5 wählen, wichtig ist im Beispiel, daß die ersten beiden Tupel aller Funktionen sowie ein weiteres "Einser-Tupel" der Funktionen gewählt werden, damit die L.U. gewährleistet ist.
Mein Problem ist nun: Wie kann ich allgemein nachweisen, daß für $n$ Funktionen stets $n$ viele [mm] x_i [/mm] für ein solches LGS existieren? Warum muß die Anzahl der [mm] x_i [/mm] im Beispiel zwingend 3 sein? Ich kann das nicht mit der Definition der lin. Unabhängigkeit nachweisen bzw. mit der Definition der L.A. widerlegen.
Hast Du dafür einen Ansatz für mich?
Und bitte, bitte nicht böse sein, daß ich nochmal nachfrage - Diese Aufgabe kostet mich wirklich Nerven und Hirnzellen :)
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Hallo,
zunächst einmal brauchst Du Dich für Deine Nachfragen nicht zu entschuldigen, zumal zu erkennen ist, daß Du Dich mit der Sache wirklich beschäftigst.
> Mein Problem ist nun: Wie kann ich allgemein nachweisen,
> daß für [mm]n[/mm] Funktionen stets [mm]n[/mm] viele [mm]x_i[/mm] für ein solches LGS
> existieren? Warum muß die Anzahl der [mm]x_i[/mm] im Beispiel
> zwingend 3 sein? Ich kann das nicht mit der Definition der
> lin. Unabhängigkeit nachweisen bzw. mit der Definition der
> L.A. widerlegen.
>
> Hast Du dafür einen Ansatz für mich?
Nehmen wir wieder drei Funktionen [mm] f_1, f_2, f_3, [/mm] die linear unabhängig sind.
Weil's so schön übersichtlich ist, möge ihr Definitionsbereich [mm] =\IN [/mm] sein.
Jetzt gucken wir uns nochmal die Def. für lineare Unabhängigkeit an:
[mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=0 [/mm] ("Nullfunktion") ==> [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
[/mm]
Daß [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3 [/mm] gleich der Nullfunktion ist,
bedeutet - wie in vorhergehenden Posts erwähnt - da? die rechte und linke Seite für jedes x des Definitionsbereiches übereinstimmen.
Also ist [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=0
[/mm]
[mm] <==>\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)+\lambda_3f_3(x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in \IN [/mm] (nur hier! Weil wir als Def.bereich [mm] \IN [/mm] gewählt hatten.)
<==> (ACHTUNG, jetzt kommt's!!!)
[mm] \lambda_1f_1(1)+\lambda_2f_2(1)+\lambda_3f_3(1)=0 [/mm] und
[mm] \lambda_1f_1(2)+\lambda_2f_2(2)+\lambda_3f_3(2)=0 [/mm] und
[mm] \lambda_1f_1(3)+\lambda_2f_2(3)+\lambda_3f_3(3)=0 [/mm] und
[mm] \lambda_1f_1(4)+\lambda_2f_2(4)+\lambda_3f_3(4)=0 [/mm] und
...
Wir haben hier also ein lineares Gleichungssystem aus "sehr vielen" Gleichungen, welche alle gleichzeitig erfüllt sein müssen.
Da die [mm] f_i [/mm] als linear unabhängig vorausgesetzt sind, folgt aus diesem GS [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Das bedeutet, daß in diesem System drei Gleichungen zu finden sind, welche die triviale Lösung "erzwingen". (Denn irgendwo muß die Lösung [mm] \lambda_i=0 [/mm] ja herkommen!!! Zwei Zeilen reichen nicht.)
Und diese drei Zeilen, die das erzwingen, sind die, die uns (zur Ursprungsaufgabe zurückkehrend) [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] liefern als endl. Teilmenge der Definitionsmenge, auf welcher die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind.
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Wenn Du nun n unabhängige Funktionen hast, die linear unabhängig sind, hast Du es mit einem GS in n Variablen zu tun.
Das es für das riesige System nur die triviale Lösung gibt (lin. unabh.), findest Du innerhalb der vielen, vielen Gleichungen n Stück, die so beschaffen sind, daß die zu diesem System aus n Gleichungen gehörende Matrix den Rang n hat. Also findest Du n der für die Aufgabe benötigten [mm] a_i.
[/mm]
Wenn Du sie nicht fändest, hätte jedes Gleichungssystem, welches Du Dir aus dem Riesensystem machen könntest, einen Rang, der kleiner als n wäre, was bedeuten würde, daß es noch andere als die triviale Lösung gäbe.
Gruß v. Angela
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