Lin. (Un-)Abhängigkeit / Basen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe 1 | Seien [mm] u_{1},...,u_{n} [/mm] linear unabhängige Vektoren des K-Vektorraumes V und seien [mm] a_{1},...,a_{n} \in [/mm] K. Zeigen Sie:
Für [mm] u:=a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n}
[/mm]
sind [mm] u_{1}-u,...,u_{n}-u [/mm] genau dann linear unabhängig, wenn [mm] a_{1}+...+a_{n}=1 [/mm] gilt. |
| Aufgabe 2 | | Es sei { [mm] b_{1},..., b_{n} [/mm] } eine Basis des n-dimensionalen K-Vektorraumes V. Welche x [mm] \in [/mm] V haben die Eigenschaft, dass { [mm] b_{1},...,b{n}, [/mm] x } \ { [mm] b_{i} [/mm] } für alle i=1,...,n eine Basis von V ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, hier komme ich auf keinen Sinnvollen Ansatz. Kann mir jemand erklären, wie ich das jetzt zeigen kann? Hab langsam schon Kopfschmerzen.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien [mm]u_{1},...,u_{n}[/mm] linear unabhängige Vektoren des
> K-Vektorraumes V und seien [mm]a_{1},...,a_{n} \in[/mm] K. Zeigen
> Sie:
>
> Für [mm]u:=a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n}[/mm]
>
> sind [mm]u_{1}-u,...,u_{n}-u[/mm] genau dann linear unabhängig,
> wenn [mm]a_{1}+...+a_{n}=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gilt.
Die Aussage ist falsch:
mit $a_1 = 1$ und $a_2 = 0$ gilt $a_1 + a_2 = 0$ un $u = u_1$, jedoch sind $u_1 - u, u_2 - u$ (das sind dann $0, u_2 - u_1$) nicht linear unabhaengig.
> Es sei { [mm]b_{1},..., b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis des n-dimensionalen
> K-Vektorraumes V. Welche x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V haben die Eigenschaft,
> dass { [mm]b_{1},...,b{n},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x } \ { [mm]b_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} für alle i=1,...,n
> eine Basis von V ist.
Nun, $x$ sollte keines der $b_i$ sein.
Schreibe doch mal $x = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i$; dies geht ja da $b_1, \dots ,b_n$ eine Basis ist.
Wann ist $x$ jetzt linear unabhaengig zu $b_1, \dots, b_{i-1}, b_{i+1}, \dots, b_n$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
Zu Aufgabe 1:
Denke es müsste heissen $ [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 1 $ für $ [mm] a_1 [/mm] = 1 $ und $ [mm] a_2 [/mm] = 0 $ ?!
Reicht es dann zu zeigen was passiert wenn $ [mm] a_1 [/mm] = 1 $ ist?
Dann ist $ [mm] u_1 [/mm] - u = 0 $ aber was ist dann mit $ [mm] u_2 [/mm] - [mm] u,...,u_n [/mm] - u $ ??
Irgendwie machts da grad nicht klick.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Felix hat es doch gesagt:
Die Aussage in Aufgabe 1 ist falsch.
Also überprüfe nochmal die Aufgabenstellung. Hast Du sie korrekt wiedergegeben ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:04 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Seien $ [mm] u_{1},...,u_{n} [/mm] $ linear unabhängige Vektoren des K-Vektorraumes V und seien $ [mm] a_{1},...,a_{n} \in [/mm] $ K. Zeigen Sie:
Für $ [mm] u:=a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n} [/mm] $
sind $ [mm] u_{1}-u,...,u_{n}-u [/mm] $ genau dann linear abhängig, wenn $ [mm] a_{1}+...+a_{n}=1 [/mm] $ gilt. |
ja, hatte anstatt "abhängig" "unabhängig" geschrieben. sorry.
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> Seien [mm]u_{1},...,u_{n}[/mm] linear unabhängige Vektoren des
> K-Vektorraumes V und seien [mm]a_{1},...,a_{n} \in[/mm] K. Zeigen
> Sie:
>
> Für [mm]u:=a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n}[/mm]
>
> sind [mm]u_{1}-u,...,u_{n}-u[/mm] genau dann linear abhängig, wenn
> [mm]a_{1}+...+a_{n}=1[/mm] gilt.
> ja, hatte anstatt "abhängig" "unabhängig" geschrieben.
> sorry.
Hallo,
gut. jetzt kennen wir die Aufgabe.
Nun kannst Du ja mal erzählen, was Du überlegt hast.
Was möchtest Du zeigen, was hast Du dafür bisher getan, wo liegen etwaige Probleme?
Nur so kommt die Sache hier richtig in Schwung...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
Was ich zeigen will geht ja aus der Aufgabenstellung hervor. ^^
Überlegt habe ich Folgendes:
$ [mm] a_1+...+a_n [/mm] = 1 $ ist ja auch wahr für den fall $ [mm] a_1 [/mm] = 1 $ und $ [mm] a_2+...+a_n [/mm] = 0 $
Dann bekomm ich $ u = [mm] u_1 [/mm] $ und damit führt mich
$ [mm] u_1 [/mm] - [mm] u,...,u_n [/mm] - u $
zu
$ 0, [mm] u_2 [/mm] - [mm] u_1,...,u_n [/mm] - [mm] u_1 [/mm] $
Dann könnte man einen Koeffizienten [mm] \not= [/mm] 0 vor die 0 setzen und das ganze wäre dann nicht mehr linear unabhängig, weil dann ja alle Koeffizienten = 0 sein müssen.
Kann ich das so sinnvoll begründen?
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> Was ich zeigen will geht ja aus der Aufgabenstellung
> hervor. ^^
Hallo,
genau diese Denkweise ist es, die oftmals die erfolgreiche Lösung der Aufgaben verhindert...
Auf Aufgaben muß man nicht draufgucken, man muß sie analysieren.
Sonst braucht man sich gar nicht damit zu beschäftigen. Da trinkt man lieber 'nen Bier.
| Aufgabe | Seien $ [mm] u_{1},...,u_{n} [/mm] $ linear unabhängige Vektoren des K-Vektorraumes V und seien $ [mm] a_{1},...,a_{n} \in [/mm] $ K. Zeigen Sie:
Für $ [mm] u:=a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n} [/mm] $
sind $ [mm] u_{1}-u,...,u_{n}-u [/mm] $ genau dann linear abhängig, wenn $ [mm] a_{1}+...+a_{n}=1 [/mm] $ gilt. |
Zunächst mal ist nämlich festzustellen, daß hier zwei Beweise zu führen sind:
A: $ [mm] u_{1}-u,...,u_{n}-u [/mm] $ linear abhängig ==> [mm] a_{1}+...+a_{n}=1 [/mm]
und
B: [mm] a_{1}+...+a_{n}=1 [/mm] ==> [mm] u_{1}-u,...,u_{n}-u [/mm] $ linear abhängig
Mit dieser Erkenntnis fängt das Glück an. man muß sich nämlich jederzeit im Klaren darüber sein, welchen der Beweise man gerade führt.
>
> Überlegt habe ich Folgendes:
>
> [mm]a_1+...+a_n = 1[/mm] ist ja auch wahr für den fall [mm]a_1 = 1[/mm] und
> [mm]a_2+...+a_n = 0[/mm]
Ja.
>
> Dann bekomm ich [mm]u = u_1[/mm] und damit führt mich
>
> [mm]u_1 - u,...,u_n - u[/mm]
>
> zu
>
> [mm]0, u_2 - u_1,...,u_n - u_1[/mm]
Ja.
>
> Dann könnte man einen Koeffizienten [mm]\not=[/mm] 0 vor die 0
> setzen und das ganze wäre dann nicht mehr linear
> unabhängig, weil dann ja alle Koeffizienten = 0 sein
> müssen.
Das ist richtig.
Aaaaaber: Du hast die Aussage nun für einen einzigen ganz speziellen Fall geprüft.
Zeigen mußt Du es aber für sämtliche [mm] a_i [/mm] mit [mm] a_1+...+a_n [/mm] = 1.
Aber Du kannst ja sagen:
[mm] a_1+...+a_n [/mm] = 1, dann ist [mm] a_1=1-a_2- ...-a_{n}.
[/mm]
dann könntest Du versuchen, die (Un)Abhängigkeit von [mm] u_{1}-u,...,u_{n}-u [/mm] zu prüfen.
Für die Richtung A schau, was Rainer eben dort geschrieben hat.
Rückfragen zur Richtung A auch sinnigerweise dort.
Gruß v. Angela
> Kann ich das so sinnvoll begründen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
Zu Aufgabe 2:
Versteh ich schon von der Formulierung her nicht so ganz:
$ { [mm] b_1,...,b_n, [/mm] x } \ { [mm] b_i [/mm] } $ für alle $ i = 1,...,n $ ???
Ist das dann nicht einfach nur { x } ??
Und wann ist das eine Basis von V ?
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> Zu Aufgabe 2:
>
> Versteh ich schon von der Formulierung her nicht so ganz:
>
> [mm]{ b_1,...,b_n, [b]x[/b] } \ { b_i }[/mm] für alle [mm]i = 1,...,n[/mm] ???
>
> Ist das dann nicht einfach nur { x } ??
Hallo,
das hast Du falsch verstanden.
Machen wir's mal konkret.
Sei [mm] \{b_1, b_2, b_3\} [/mm] basis eines dreidimensionalen VRes V.
Du sollst nun sagen, für welche x [mm] \in [/mm] V
Sowohl
[mm] \{x, b_2, b_3\}, \{b_1, x, b_3\}, \{b_1, b_2, x\} [/mm] eine Basis von V ist.
>
> Und wann ist das eine Basis von V ?
Das sollst Du ja nun herausfinden.
Auf jeden Fall müssen ja die (hier: 3) Mengen linear unabhängig sein bzw. den VR V erzeugen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angela,
das
> Sei [mm]\{b_1, b_2, b_3\}[/mm] basis eines vierdimensionalen VRes V.
wird kaum funktionieren. Du meinst wohl 3-dimensional.
FRED
das
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> > Sei [mm]\{b_1, b_2, b_3\}[/mm] basis eines vierdimensionalen VRes
> V.
>
>
> wird kaum funktionieren. Du meinst wohl 3-dimensional.
In der Tat.
Danke.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
Ahh, verstanden hab ichs jetzt schonmal... viiieelen Dank!
Also wenn $ x $ genau das $ [mm] b_i [/mm] $ ist das gerade nicht in der Basis vorkommt. Aber wie bringt man das zu Papier? Hab leider noch gewisse Probleme mit sowas. :(
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> Ahh, verstanden hab ichs jetzt schonmal... viiieelen Dank!
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> Also wenn [mm]x[/mm] genau das [mm]b_i[/mm] ist das gerade nicht in der Basis
> vorkommt.
Hallo,
was meinst Du damit, daß x "genau das" [mm] b_i [/mm] ist, was nicht in der Basis vorkommt?
> Aber wie bringt man das zu Papier?
Ich helfe gern, wenn Du sagst, was genau Du zu Papier bringen willst.
> Hab leider
> noch gewisse Probleme mit sowas. :(
Dein Problem hat nichts mit dem zu-Papier-Bringen zu tun.
Ich glaube, Du hast die Aufgabe noch nicht verstanden: Du sollst sagen, wie das x beschaffen sein muß, damit die drei Mengen eine Basis sind.
Darum geht es hier.
Aber das ist immer dasselbe x. Das ändert sich von Menge zu Menge nicht!
Mal noch konkreter:
[mm] b_1:=\vektor{1\\2\\3}, b_2:=\vektor{1\\2\\2} [/mm] und [mm] b_3:=\vektor{0\\0\\1} [/mm] sind eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Nun sollst Du sagen, wie die vektoren x gemacht sind, mit denen sowohl
$ [mm] \{x, b_2, b_3\} [/mm] als auch [mm] \{b_1, x, b_3\} [/mm] und [mm] \{b_1, b_2, x\} [/mm] $ eine Basis vom [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
hmm... wenn mein x eine Linearkombination aus $ { [mm] b_1,...,b_n [/mm] } $ ohne $ { [mm] b_i [/mm] } $ ist? Würde zumindest bei dem Beispiel funktionieren... oder bin ich wieder auf einem neuen Holzweg??
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> hmm... wenn mein x eine Linearkombination aus [mm]{ b_1,...,b_n }[/mm]
> ohne [mm]{ b_i }[/mm] ist?
Was meinst Du damit?
Dir ist klar, daß dieses eine x in allen (hier: 3) Mengen funktionieren muß?
> Würde zumindest bei dem Beispiel
> funktionieren... oder bin ich wieder auf einem neuen
> Holzweg??
Ich denke, Du wirst auf den richtigen Weg kommen.
Da [mm] x\in [/mm] V hat x ja die Gestalt
[mm] x=\summe \alpha_ib_i.
[/mm]
Über die [mm] \alpha_i [/mm] mußt Du was rausfinden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
ahhh... hab jetzt ein paar stunden gegrübelt...
also muss mein $ [mm] \alpha_i [/mm] $ ungleich $ [mm] \alpha_1,...,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},...,\alpha_n, [/mm] $
oder wie drück ich das aus? oder lieg ich wieder daneben??
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> ahhh... hab jetzt ein paar stunden gegrübelt...
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> also muss mein [mm]\alpha_i[/mm] ungleich
> [mm]\alpha_1,...,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},...,\alpha_n,[/mm]
>
> oder wie drück ich das aus? oder lieg ich wieder daneben??
Hallo,
da mir nicht ganz klar ist, was Du meinst, fällt es mir schwer, Dir beim Ausdrücken dessen, was Du sagen willst, zu helfen.
damit es erstmal nicht so muühsam ist, gehen wir mal wieder zu meinem Schrumpfbeispiel:
"Sei $ [mm] \{b_1, b_2, b_3\} [/mm] $ basis eines dreidimensionalen VRes V.
Du sollst nun sagen, für welche x $ [mm] \in [/mm] $ V
Sowohl
$ [mm] \{x, b_2, b_3\}, \{b_1, x, b_3\}, \{b_1, b_2, x\} [/mm] $ eine Basis von V ist. "
Aus gewissen Gründen (aus welchen) gibt es Koeffizienten [mm] \alpha_i [/mm] mit [mm] x=\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3.
[/mm]
Man muß die Koeffizienten also so organisieren, daß
[mm] \{\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3, b_2, b_3\}, \{b_1,\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3, b_3\} [/mm] und [mm] \{b_1, b_2, \alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3\} [/mm] jeweils Basen von V sind - mit ein- und demselben x.
Vielleicht verdeutlichst Du das, was Du meinst, erstmal an dem Beispiel mit dem dreidimensionalen Raum.
Gruß v. Angela
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