Lin. GLS mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 30.09.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | Für welche t ist das gegebene System lösbar?
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 2-t \\ 1 & 3 & 3-t \\ 0 & 2-t & t^{2}}
[/mm]
[mm] b=\pmat{ t^{2} \\ t^{2}+2 \\ t^{2}+t+6 }
[/mm]
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Hallo,
ich habe oben stehende Aufgabe und laut Lösung sollen
"System eindeutig lösbar, wenn t [mm] \not=1 [/mm] oder [mm] t\not=2; [/mm] man sagt auch
das System hat unendlich viele Lösungen für t=2, besitzt keine Lösungen für t=1"
rauskommen. Ich habe jetzt folgenden Ansatz gemacht:
A nach erster Spalte mit LaPlace entwickeln, am Ende habe ich dann folgende Gleichung:
[mm] t^{2}+3*t-\bruch{10}{3}
[/mm]
Wie gehe ich weiter vor um die Aufgabe zu lösen, habt ihr einen Tipp für mich?
MfG
Basti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 30.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
durch elementare Gauss umformungen kannst du das system auf:
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & (2-1) \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & (t^2 + t - 2) } [/mm]
b = [mm] \pmat{ t^2 \\ 2 \\ (t^2+3t+2) }
[/mm]
bringen.
ein solches System ist lösbar falls Rang(A) = Rang(A,b), es ist also nicht lösbar wenn A eine nullzeile hat und b nicht, deshalb prüfe wann A eine nullzeile hat:
dies ist der fall bei [mm] t^2+t-2 [/mm] = 0 also wenn t 1 oder -2 ist!
bei t=1 , hat aber b keine nullzeile denn [mm] 1^2+3+2 [/mm] = 6 also nicht lösbar
bei t=-2 , hat auch b eine nullzeile da [mm] (-2)^2+3(-2)+2 [/mm] = 0 also kann die dritte unbekannte beliebig gewählt werden, es gibt also unendlich viele lösungen
für alle anderen werte von t gibt es genau eine Lösung
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Di 30.09.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Nachdem du es mit Laplace ausgerechnet hast, hast du von der 1. Matrix also die Determinante Berechnet. Es gilt wenn die Determinante von A ungleich 0 ist, dann ist es eindeutig Lösbar. Vielleicht wolltest du darauf hinaus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 01.10.2008 | | Autor: | RuffY |
hallo noch mal...
ich habe gerade versucht die Umformungen nachzuvollziehen...
hast du:
2. Zeile - 1. Zeile
3. Zeile - (2-t) * 2. Zeile
gemacht?
Ich habe bei den Umformungen folgendes heraus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & (2-t) \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & (t^2 + t - 2) }
[/mm]
[mm] \pmat{ t^2 \\ 2 \\ (t^2+2t+4) }
[/mm]
Habe ich evt. einen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 01.10.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
also 2.Zeile - 1.Zeile, dann 3.Zeile - (2-t)*neue 2.Zeile
die Matrix A hast du ja genauso wie ich und die rechte seite b:
[mm] \vektor{t^2 \\ 2 \\ t^2 +t +6} [/mm] nach der ersten umformung und
[mm] \vektor{t^2 \\ t^2 -t \\ t^2 +t +6 - (2-t) 2)} [/mm] = [mm] \vektor{t^2 \\ t^2 -t \\ t^2 +t +6 -4 +2t} =\vektor{t^2 \\ t^2 -t \\ t^2 +3t +2}
[/mm]
...
gruß
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