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| Aufgabe | Welche d. folgenden Funktionale auf [mm] D(\IR) [/mm] sind Distributionen auf [mm] D(\IR)' [/mm] ?
b) [mm] T(\phi) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \phi^{(k)} [/mm] (0), n [mm] \in \IN
[/mm]
c) [mm] T(\phi) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \phi^{(k)} [/mm] (0) |
Ich denke mal die größte Hürde ist hier die Stetigkeit.
Dazu haben wir das Kriterium, wo man [mm] |T(\phi)| [/mm] durch [mm] C*sup|D^{\alpha} \phi(x)| [/mm] , wobei das [mm] D^{\alpha} [/mm] für die Ableitungen steht. (Ist etwas ungenau, aber nur damit ihr wisst, welche Abschätzung ich suche)
Bei b) hab ich somit [mm] T(\phi) [/mm] über n*sup [mm] |\phi(0)^{(k)}| [/mm] abgeschätzt und somit die Stetigkeit gefolgert.
Bei c) denk ich mir nun, dass das nicht funktioniert, weil da für bestimmte [mm] \phi [/mm] eine nicht konvergente unendliche Summe entsteht, suche aber noch nach einem Gegenbeispiel.
Ich würde hier gerne die Funktion [mm] e^{x} [/mm] nehmen, was auf [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] 1 hinauslaufen würde, aber ich bin mir nicht sicher, ob [mm] e^{x} \in D(\IR) [/mm] = {f [mm] \in C^{\infty}(\IR), [/mm] supp f kompakt}.
Kann ich die Fkt. da einfach nur von -1 bis 1 betrachten?
Thx für Vorschläge
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Hallo steel,
> Welche d. folgenden Funktionale auf [mm]D(\IR)[/mm] sind
> Distributionen auf [mm]D(\IR)'[/mm] ?
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> b) [mm]T(\phi)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \phi^{(k)}[/mm] (0), n [mm]\in \IN[/mm]
>
> c) [mm]T(\phi)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \phi^{(k)}[/mm] (0)
> Ich denke mal die größte Hürde ist hier die Stetigkeit.
> Dazu haben wir das Kriterium, wo man [mm]|T(\phi)|[/mm] durch
> [mm]C*sup|D^{\alpha} \phi(x)|[/mm] , wobei das [mm]D^{\alpha}[/mm] für die
> Ableitungen steht. (Ist etwas ungenau, aber nur damit ihr
> wisst, welche Abschätzung ich suche)
mich würde mal interessieren, wie das kriterium konkret lautet.
>
> Bei b) hab ich somit [mm]T(\phi)[/mm] über n*sup [mm]|\phi(0)^{(k)}|[/mm]
> abgeschätzt und somit die Stetigkeit gefolgert.
so ähnlich sollte das funktionieren, ja.
> Bei c) denk ich mir nun, dass das nicht funktioniert, weil
> da für bestimmte [mm]\phi[/mm] eine nicht konvergente unendliche
> Summe entsteht, suche aber noch nach einem Gegenbeispiel.
das stimmt, diese distribution ist nicht wohldefiniert.
> Ich würde hier gerne die Funktion [mm]e^{x}[/mm] nehmen, was auf
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] 1 hinauslaufen würde, aber ich bin
> mir nicht sicher, ob [mm]e^{x} \in D(\IR) = \{f\in C^{\infty}(\IR),
supp f kompakt\}.[/mm]
> Kann ich die Fkt. da einfach nur von -1 bis 1 betrachten?
das geht nicht, nein. wie wäre es aber mit [mm] $e^{-x^2}$?
[/mm]
Gruß
Matthias
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