Lin. DGl 2.ter Ordnung inhom. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 06.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute, brauch mal Hilfe beim Lösen folgender Diff-Gleichung:
mh''(t) + [mm] \alpha [/mm] h'(t) = -mg
Zuerst suche ich die allgemeine Lösung der homogenen DGL:
mh''(t) + [mm] \alpha [/mm] h'(t) = 0
Exponentialansatz: [mm] Pe^{\lambda t}
[/mm]
Ich setze in die DGL ein, erhalte das charakteristische Polynom und bekomme daraus die Lösungen [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] u. [mm] \lambda_{2}=-\bruch{\alpha}{m}
[/mm]
Das führt zur allg. hom. Lösung: [mm] h_{hom}(t)=P_{1}+P_{2}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}
[/mm]
Die spez. Lösung soll man über Ansatz: [mm] h_{s}(t)=at+b [/mm] erhalten.
Das eingesetzt in die DGL erhält man [mm] a=-\bruch{mg}{\alpha}
[/mm]
Also lautet spez. Lösung: [mm] h_{s}(t)=-\bruch{mg}{\alpha} [/mm] t+b
Das b kann man danach gut mit dem [mm] P_{1} [/mm] zusammenfassen.
Nun gebe ich die allgemein Lösung d. inhom. DGL an:
[mm] h(t)=P_{1}+P_{2}e^{-\bruch{\alpha}{m} t} [/mm] - [mm] \bruch{mg}{\alpha} [/mm] t
Mit d. Anfangsbedingungen [mm] h(0)=h_{0} [/mm] und [mm] h'(0)=v_{0} [/mm] bestimme ich [mm] P_{1} [/mm] u. [mm] P_{2}.
[/mm]
h(t) und h'(t) sind die beiden Gleichungen, die ich brauche.
Ich bekomme [mm] P_{1}=h_{0}+ \bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}
[/mm]
und [mm] P_{2}=\bruch{-m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}
[/mm]
Die fertige Lösung lautet also: [mm] h(t)=h_{0}+\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha} -\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}e^{-\bruch{\alpha}{m} t} [/mm] - [mm] \bruch{mg}{\alpha}t
[/mm]
Diese Funktion erfüllt alle Anfangsbedingungen.
Wenn ich sie allerdings in die DGL einsetze, verschwinden nicht alle Ausdrücke mit t, obwohl rechts im Ergebnis doch etwas Konstantes steht.
Wenn ich für t 0 einsetze, kommt auch -mg raus. Aber wenn es für alle anderen Werte gelten soll, muss das t doch komplett verschwinden, oder nicht?
Bin ratlos :(
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 06.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo Leute, brauch mal Hilfe beim Lösen folgender
> Diff-Gleichung:
>
> mh''(t) + [mm]\alpha[/mm] h'(t) = -mg
>
> Zuerst suche ich die allgemeine Lösung der homogenen DGL:
> mh''(t) + [mm]\alpha[/mm] h'(t) = 0
> Exponentialansatz: [mm]Pe^{\lambda t}[/mm]
> Ich setze in die DGL
> ein, erhalte das charakteristische Polynom und bekomme
> daraus die Lösungen [mm]\lambda_{1}=0[/mm] u.
> [mm]\lambda_{2}=-\bruch{\alpha}{m}[/mm]
>
> Das führt zur allg. hom. Lösung:
> [mm]h_{hom}(t)=P_{1}+P_{2}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}[/mm]
>
> Die spez. Lösung soll man über Ansatz: [mm]h_{s}(t)=at+b[/mm]
> erhalten.
> Das eingesetzt in die DGL erhält man
> [mm]a=-\bruch{mg}{\alpha}[/mm]
> Also lautet spez. Lösung: [mm]h_{s}(t)=-\bruch{mg}{\alpha}[/mm]
> t+b
> Das b kann man danach gut mit dem [mm]P_{1}[/mm] zusammenfassen.
>
> Nun gebe ich die allgemein Lösung d. inhom. DGL an:
> [mm]h(t)=P_{1}+P_{2}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}[/mm] -
> [mm]\bruch{mg}{\alpha}[/mm] t
>
> Mit d. Anfangsbedingungen [mm]h(0)=h_{0}[/mm] und [mm]h'(0)=v_{0}[/mm]
> bestimme ich [mm]P_{1}[/mm] u. [mm]P_{2}.[/mm]
> h(t) und h'(t) sind die beiden Gleichungen, die ich
> brauche.
> Ich bekomme [mm]P_{1}=h_{0}+ \bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}[/mm]
>
> und [mm]P_{2}=\bruch{-m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}[/mm]
>
> Die fertige Lösung lautet also:
> [mm]h(t)=h_{0}+\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha} -\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}[/mm]
> - [mm]\bruch{mg}{\alpha}t[/mm]
>
> Diese Funktion erfüllt alle Anfangsbedingungen.
> Wenn ich sie allerdings in die DGL einsetze, verschwinden
> nicht alle Ausdrücke mit t, obwohl rechts im Ergebnis doch
> etwas Konstantes steht.
> Wenn ich für t 0 einsetze, kommt auch -mg raus. Aber wenn
> es für alle anderen Werte gelten soll, muss das t doch
> komplett verschwinden, oder nicht?
ja das ist richtig. Deine Lösung sieht aber gut aus, ich schätze Du hast Dich verrechnet. Wenn ich Deine Lösung einsetze erhalte ich wie gewünscht $=-mg$
>
> Bin ratlos :(
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 06.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Das heißt, du setzt meine Lösung ein und bei dir fallen die Terme mit t weg? Nur nochmal zum Mitschreiben?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 06.01.2013 | | Autor: | notinX |
> Das heißt, du setzt meine Lösung ein und bei dir fallen
> die Terme mit t weg? Nur nochmal zum Mitschreiben?^^
Ja, exakt. Rechne nochmal in aller Ruhe nach, dann wirst Du auch drauf kommen. Falls nicht kannst Du ja mal hier vorrechnen - dann kann jemand drüberschaun.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 So 06.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Alles klar, dann vielen Dank schonmal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 So 06.01.2013 | | Autor: | Paivren |
habs gefunden, danke nochmal^^
Gruß
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Hallo Paivren,
> Hallo Leute, brauch mal Hilfe beim Lösen folgender
> Diff-Gleichung:
>
> mh''(t) + [mm]\alpha[/mm] h'(t) = -mg
>
> Zuerst suche ich die allgemeine Lösung der homogenen DGL:
> mh''(t) + [mm]\alpha[/mm] h'(t) = 0
> Exponentialansatz: [mm]Pe^{\lambda t}[/mm]
> Ich setze in die DGL
> ein, erhalte das charakteristische Polynom und bekomme
> daraus die Lösungen [mm]\lambda_{1}=0[/mm] u.
> [mm]\lambda_{2}=-\bruch{\alpha}{m}[/mm]
>
> Das führt zur allg. hom. Lösung:
> [mm]h_{hom}(t)=P_{1}+P_{2}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}[/mm]
>
> Die spez. Lösung soll man über Ansatz: [mm]h_{s}(t)=at+b[/mm]
> erhalten.
> Das eingesetzt in die DGL erhält man
> [mm]a=-\bruch{mg}{\alpha}[/mm]
> Also lautet spez. Lösung: [mm]h_{s}(t)=-\bruch{mg}{\alpha}[/mm]
> t+b
> Das b kann man danach gut mit dem [mm]P_{1}[/mm] zusammenfassen.
>
> Nun gebe ich die allgemein Lösung d. inhom. DGL an:
> [mm]h(t)=P_{1}+P_{2}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}[/mm] -
> [mm]\bruch{mg}{\alpha}[/mm] t
>
> Mit d. Anfangsbedingungen [mm]h(0)=h_{0}[/mm] und [mm]h'(0)=v_{0}[/mm]
> bestimme ich [mm]P_{1}[/mm] u. [mm]P_{2}.[/mm]
> h(t) und h'(t) sind die beiden Gleichungen, die ich
> brauche.
> Ich bekomme [mm]P_{1}=h_{0}+ \bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}[/mm]
>
> und [mm]P_{2}=\bruch{-m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}[/mm]
>
> Die fertige Lösung lautet also:
> [mm]h(t)=h_{0}+\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha} -\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}[/mm]
> - [mm]\bruch{mg}{\alpha}t[/mm]
>
Die korrekte Lösung lautet:
[mm]h(t)=h_{0}+\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha^{\blue{2}}} -\bruch{m(v_{0}\alpha+mg)}{\alpha^{\blue{2}}}e^{-\bruch{\alpha}{m} t}- \bruch{mg}{\alpha}t[/mm]
> Diese Funktion erfüllt alle Anfangsbedingungen.
> Wenn ich sie allerdings in die DGL einsetze, verschwinden
> nicht alle Ausdrücke mit t, obwohl rechts im Ergebnis doch
> etwas Konstantes steht.
> Wenn ich für t 0 einsetze, kommt auch -mg raus. Aber wenn
> es für alle anderen Werte gelten soll, muss das t doch
> komplett verschwinden, oder nicht?
>
> Bin ratlos :(
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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