Lin. Algebra, brauche HILFE!!! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 10.10.2004 | | Autor: | maph |
Eine Matrix A über einem Körper habe m Zeilen, n Spalten und den Rang r. Welche Beziehung zwischen zwei der Zahlen m, n, r ist notwendig und hinreichend für die Injektivität der durch A beschriebenen linearen Abbildung?
Ich schreib am Mittwoch Mathe2 nach und muss unbedingt den Schein bekommen.
Wär cool, wenn mir das einer erklären könnte (möglichst einfach ). Wenn ihr mir das ganze auch noch für die Surjektivität (+Bijektivität) erklären könnt, wär das noch viel besser, weil die Aufgabe aus meiner 1. Klausur stammt, die ich knapp versemmelt hab, und deswegen in der Nachklausur nur in ähnlicher Form kommen wird. Sprich das ganze für Surjektiv/Bijektiv.
Ich bedank mich schon mal bei euch!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 So 10.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich versuche mich mal in einer Antwort, wobei es schwierig ist, denn mir sind Deine Grundlagen ja nicht bekannt.
> Eine Matrix A über einem Körper habe m Zeilen, n Spalten
> und den Rang r. Welche Beziehung zwischen zwei der Zahlen
> m, n, r ist notwendig und hinreichend für die Injektivität
> der durch A beschriebenen linearen Abbildung?
>
Ich werfe erst einmal mit einigen Definitionen um mich:
1.)
Die Matrix $A$ hat den Rang $r$. Bei einer Marix gilt: Zeilenrang = Spaltenrang.
Der Rang einer Matrix ist definiert als die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten (Zeilen).
Hat $A$ also den Rang $r$, so gibt es $r$ unabhängige Zeilen (Spalten).
Ferner ist die Dimension des Bildes von $f$ gleich dem Rang $r$ der Matrix $A$.
2.)
Der $Kern$ einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren $v [mm] \in [/mm] V$, die auf den Nullvektor abgebildet werden: $Kern [mm] f:=\{v\in V : f(v)=0\}$.
[/mm]
3) Aus der Dimensionsformel für endlich-dimensionale Vektorräume wissen wir, dass:
$dim Kern f + dim Bild f = n$
Ok, dann gibt es den Satz:
Sei $f: V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung. $f$ ist genau dann injektiv, wenn $Kern f=0$.
Anders gesagt: Ist $f$ injektiv, wird nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet. Das ist klar, denn injektiv bedeutet ja, dass keine zwei Elemente $x,x'$ aus dem Definitionsbereich $V$ auf dasselbe Elemente $y$ aus dem Wertebereich $W$ abgebildet werden. In Formel: Aus $x,x' [mm] \in [/mm] V$ mit $f(x)=f(x')$ folgt stets $x=x'$.
Damit haben wir alles zusammen, was man braucht. Ist $f$ injektiv, wird nur der Nullvektor auf sich selbst abgebildet. Demnach ist die Dimension des Kerns von $f$ gleich 0.
Wegen der Dimensionsformel folgt damit aber, dass die Dimension des Bildes gleich $n$ ist. Die Dimension des Bildes ist aber gleich dem Rang der Matrix. Es gibt also $n$ linear unabhängige Zeilen in $A$. Es gibt aber damit auch $n$ linear unabhängige spalten in $A$. Kurzum:
$f$ injektiv [mm] $\gdw [/mm] m=n=r$
Grüße,
Stefan
PS: Feiner Zug von Dir wäre, das nächste Mal ein aussagekräftigeren Betreff zu wählen. Hier böte sich an: Zeilen, Spalten und Rang einer Matrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 11.10.2004 | | Autor: | maph |
Erst mal danke für deine schnelle Antwort. Meine Grundlagen (Lin. Algebra I) haben fürs problemlose Verständnis gereicht. Wenn du zeit hättest, mir das noch für die Surjektivität und Bijektivität (kommt bestimmt dran!!!) zu erklären, wäre ich dir mehr als dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
In den obigen Überlegungen steckt schon alles drin. Du mußt Dir nur klar machen, was surjektiv bedeutet:
Sei $f: V [mm] \to [/mm] W$ linear. $f$ heißt surjektiv, falls $f(V)=W$ gilt, d.h. falls es zu jedem $w [mm] \in [/mm] W$ ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $w=f(v)$ gibt.
Anders ausgedrückt - etwas populärwissenschaftlich - Das Bild von $V$ unter $f$ ist ganz $W$.
Wenn Du Dir noch überlegst, dass die Spalten der Matrix $A$ gerade die Bilder der Basisvektoren unter $f$ sind, was hat das für eine Bedeutung bezüglich der Dimension von $W$? Ist diese größer, kleiner oder gleich der Dimension von $V$? Oder in Deinen Variabeln ausgedrückt: Ist $m [mm] \le [/mm] n$, $m = n$ oder $m [mm] \ge [/mm] n$?
Naja, bijektiv ist dann natürlich, wenn $f$ injektiv und surjektiv zu gleich ist.
Ok, vielleicht reicht das erst einmal. Wenn nicht melde Dich ruhig.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 12.10.2004 | | Autor: | maph |
Noch mal Danke für die schnelle Antwort. Leider hab ich echt probleme damit, mir diese Matrizen-und-Abbildungen Geschichte "bildlich" vorzustellen. Deine Erklärung für die Injektivität war aber echt super verständlich, deswegen wär es cool, wenn du mir das auch so noch mal für surjektiv und bijektiv erklären könntest, auch was der Rang dabei zu bedeuten hat (wenn er dabei eine Rolle spielt.).
Gruss und Dank,
maph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 12.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo maph,
ich versuche es mal mit anderen Worten:
Wenn $f: V [mm] \to [/mm] W$ surjektiv ist, dann hat jedes $w [mm] \in [/mm] W$ unter $f$ ein Urbild. In mathematischer Schreibweise heißt das:
[mm] $\forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V: f(v)=w$ oder unter Verwendung der Schreibweise [mm] $f^{-1}$:
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] f^{-1}(w)=v$
[/mm]
Der ganze Raum $W$ ist also der Bildraum von $V$ unter $f$.
Angenommen, [mm] $\dim [/mm] W = m$. Dann hat $W$ eine Basis mit $m$-linear unabhängigen Vektoren. Demnach muss in der darstellenden Matrix $A$ von $f$ m linear unabhängige Spalten existieren. Der Rang der Matrix ist somit also gleich m: $rang A = m$. Der Rang kann natürlich dann nicht größer als $m$ sein (die m+1-Zeile/Spalte wäre dann eine Linearkombination der anderen m Basisvektoren), er kann aber auch nicht kleiner als $m$ sein. Das folgt daraus, dass die Basisvektoren in W ein minimales Erzeugendensystem sind: Nehme ich einen Vektor heraus, spanne ich mit meinen Basisvektoren nicht mehr den gesamten Zielbereich $W$ auf. Hat die darstellende Matrix $A$ einen Rang $k$ mit $k<m$, dann ist das Bild unter der Abbildung $f$ von der Dimension $k$, die kleiner ist, als die das Zielbereiches $W$ mit [mm] $\dim [/mm] W = m$. Wenn aber die Dimension kleiner ist, dann kann ich niemals alle Vektoren aus $W$ darstellen, anders ausgedrückt:
Es gibt mindestens ein $z$ für das gilt: [mm] $f^{-1}(z) [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Damit ist die Abbildung $f$ aber nicht surjektiv.
Ist $f$ bijektiv, dann muß $f$ injektiv und surjektiv sein. Das bedeutet:
a) Kein $w [mm] \in [/mm] W$ besitzt zwei Elemente im Urbild (wie z.B. bei der Funktion [mm] $f(x)=x^2$, [/mm] da hat der Wert $1$ in $W$ das Urbild [mm] $f^{-1}(1) =\{1,-1\}$ [/mm] - also [mm] $x^2$ [/mm] nicht injektiv!).
b) Das Bild von [mm]V[/mm] unter [mm]f[/mm] ist ganz [mm]W: f(V)=W[/mm].
Demnach $m=n=rang A$.
Gruß,
Stefan
(bearbeitet von Hathorman)
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