Lin. Abhängigkeit v. Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 21.09.2009 | | Autor: | kaiD |
| Aufgabe | Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
[mm] \vektor{a \\ -3 \\ 5} \vektor{1 \\ -a \\ 2} \vektor{-2 \\ -2 \\ 2a} [/mm] |
Hallo,
ich komme mit der Aufgabenart an sich eigentlich zurecht, auch solange ich nur ein a in den Vektoren habe. Aber bei 3 a komme ich momentan nicht weiter.
Mit dem Einsetzungsverfahren kam ich schon beim 2. Schritt nicht weiter und mit dem Additionsverfahren hänge ich hier:
I ar + s + 2t = 0
II ar + 3r + s + as = 0
III a²r - ar - 2r - s =0
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
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Hallo Kai!
Leider erschließt sich mir nicht, wie Du auf dieses LGS gekommen bist. bitte poste die entsprechenden Ansätze / Zwischenschritte.
Du musst hier wie folgt beginnen:
[mm] $$r*\vektor{a \\ -3 \\ 5}+s* \vektor{1 \\ -a \\ 2}+t* \vektor{-2 \\ -2 \\ 2a} [/mm] \ = \ [mm] \vec{o}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 21.09.2009 | | Autor: | kaiD |
Ja so habe ich auch begonnen, und daraus ergibt sich dann:
I ar + s - 2t = 0 |*a + III ; |- II
II -3r - as - 2t= 0
III 5r + 2s + 2at = 0
I ar + s - 2t = 0
IIb ar + 3r + s + as = 0 |- IIIb
IIIb a²r + 5r + as + 2s = 0
I ar + s + 2t = 0
IIb ar + 3r + s + as = 0
IIIc a²r - ar - 2r - s = 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja so habe ich auch begonnen, und daraus ergibt sich dann:
>
> I ar + s - 2t = 0 |*a + III ; |- II
> II -3r - as - 2t= 0
> III 5r + 2s + 2at = 0
was rechnest Du da? Wenn [mm] $a\,$ [/mm] fest wäre, hättest Du zu prüfen, ob das obige Gleichungssystem im Tripel [mm] $(r,s,t)\,$ [/mm] nur die triviale Lösung $(r,s,t)=(0,0,0)$ hätte bzw. für welche [mm] $a\,$ [/mm] es eben nicht nur diese triviale Lösung hätte (da ein homogenes GLS vorliegt, ist diese triviale Lösung (der Nullvektor $(0,0,0)$) übrigens stets in der Lösungsmenge enthalten).
Die Strategie bei der Rechnung ist es also, so zu rechnen, dass man am Ende sieht, für welche(s) [mm] $a\,$ [/mm] das obige GLS nicht nur diese triviale Lösung hat.
Also:
berechne zunächst mal 3*I+a*II und 5*I-a*III:
I) [mm] $\;\;\;ar [/mm] + s - 2t = 0$
II'=3*I+a*II) [mm] $\ldots$
[/mm]
III'=5*I-a*III) [mm] $\ldots$
[/mm]
Danach eliminierst du vermittels II' und III' z.B. die Variable [mm] $s\,$, [/mm] diese Gleichung heiße III'', und erhältst dann ein GLS
I)
II')
III'')
Damit kannst Du dann nach und nach überlegen, wie, in Abhängigkeit von [mm] $a\,,$ [/mm] die Lösung(en) von $(r,s,t)$ aussieht (aussehen) bzw. für welche(s) [mm] $a\,$ [/mm] nur die triviale Lösung $(r,s,t)=(0,0,0)$ in Frage kommt, womit dann diese drei Vektoren für genau diese(s) [mm] $a\,$ [/mm] linear unabhängig wären. Für alle anderen [mm] $a\,$'s [/mm] sind sie dann l.a..
P.S.:
Überlege Dir auch, welche Fallunterscheidungen man bzgl. [mm] $a\,$ [/mm] wegen der jeweiligen Umformungen/Rechenschritte treffen sollte (z.B. wenn man $3*I+a*II$ rechnet, sollte man $a [mm] \not=0 [/mm] $ fordern; den Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] also gesondert betrachten; dies erkennt man auch im Verlauf der weiteren Rechnung, wenn man am Ende die Lösung des GLS ablesen möchte).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 21.09.2009 | | Autor: | kaiD |
Der Lösungsweg, den du vorschlägst, unterscheidet sich meiner Ansicht nach nicht von dem, den ich gewählt habe.
Wenn ich also deinen Vorschlag befolge, hänge ich bei einer Gleichung mit s, t, a und a² aus der ich nicht einfach s oder t eliminieren kann, genau da lag ja auch mein eigentliches Problem.
III'' ergibt bei mir nämlich 5s - 2as - 10t -2a²t = 0
Damit kann ich dann weiter nicht mehr viel anfangen, oder ich stehe wahlweise auch völlig auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Lösungsweg, den du vorschlägst, unterscheidet sich
> meiner Ansicht nach nicht von dem, den ich gewählt habe.
> Wenn ich also deinen Vorschlag befolge, hänge ich bei
> einer Gleichung mit s, t, a und a² aus der ich nicht
> einfach s oder t eliminieren kann, genau da lag ja auch
> mein eigentliches Problem.
>
> III'' ergibt bei mir nämlich 5s - 2as - 10t -2a²t = 0
>
> Damit kann ich dann weiter nicht mehr viel anfangen, oder
> ich stehe wahlweise auch völlig auf dem Schlauch.
ich weiß nicht, warum Du glaubst, dass es bei unseren Rechnungen keinen wesentlichen Unterschied gibt. Bei Dir enthält die Gleichung III'' sowohl die Variable [mm] $s\,$ [/mm] als auch die Variable [mm] $t\,,$ [/mm] sie sollte aber nur noch eine erhalten.
Sofern ich mich nicht verrechnet habe, kann man Dein GLS
I
II
III
mit den von mir vorgeschlagenen Umformungen umschreiben zu
I [mm] $\;\;\;r*a+s-2*t=0$
[/mm]
II' [mm] $\;\;\;(3-a^2)s-(6+2a)*t=0$
[/mm]
III'' [mm] $\;\;\;a(1-a^3)*t=0\,.$
[/mm]
Wann liefert dieses GLS nun zwingend $r=s=t=0$? Dafür muss jedenfalls sowohl [mm] $a\not=0$ [/mm] als auch $a [mm] \not=1$ [/mm] gelten, da andernfalls oben [mm] $t\,$ [/mm] frei wählbar wäre, und das (letztstehende) GLS nicht [mm] $t=0\,$ [/mm] erzwingen würde.
Es bleiben also, bzgl. der gegebenen Fragestellung, zwei Fälle zu untersuchen:
1. Fall bzw. 1. Frage:
Sind die drei Vektoren im Falle [mm] $a=0\,$ [/mm] linear unabhängig oder linear abhängig?
2. Fall bzw. 2. Frage:
Sind die drei Vektoren im Falle [mm] $a=1\,$ [/mm] linear unabhängig oder linear abhängig?
Wenn Du das nun nachrechnest (im ersten Fall solltest Du das ursprüngliche GLS
I
II
III
untersuchen, nachdem Du dort [mm] $a=0\,$ [/mm] eingesetzt hast - beachte, dass für [mm] $a=0\,$ [/mm] das GLS, bestehend aus I,II,III nicht äquivalent zu dem GLS, bestehend aus I,II',III'' ist; hier impliziert das erstgenannte GLS nur das zuletztgenannte GLS!), erkennst Du, dass das GLS im ersten Fall nur die triviale Lösung [mm] $(r,s,t)=(0,0,0)\,$ [/mm] liefert, während Du im zweiten Fall auch nichttriviale Lösungen für das GLS
I
II
III,
welches dann äquivalent zu
I
II'
III''
ist, angeben kannst.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 21.09.2009 | | Autor: | kaiD |
Bis auf III'' kann ich das auch alles nachvollziehen, aber wie du aus II' und III' auf dein III'' kommst, verstehe ich nicht wirklich.
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Hallo kaiD,
> Bis auf III'' kann ich das auch alles nachvollziehen, aber
> wie du aus II' und III' auf dein III'' kommst, verstehe ich
> nicht wirklich.
Es ist
[mm]\left(II'\right) \ \left(3-a^{2}\right)*s-\left(6+2*a\right)*t=0[/mm]
[mm]\left(III'\right) \ \left(2*a-5\right)*s+\left(2*a^{2}+10\right)*t=0[/mm]
Nun wird II' mit [mm]-\left(2*a-5\right)[/mm]
und III' mit [mm]\left(3-a^{2}\right)[/mm] multipliziert
und dies dann addiert:
[mm]\left(III''\right)= -\left(II'\right)*\left(2*a-5\right)+\left(III'\right)*\left(3-a^{2}\right)[/mm]
Das liefert dann:
[mm]\left(III''\right) \ 2*a*\left(1-a^{3}\right)*t=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Die 3 vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn die Determinante von
[mm] \pmat{ a & 1 & -2 \\ -3 & -a & -2 \\ 5 & 2 &2a }
[/mm]
= 0 ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wahlweise kann man auch z.B. t=1 setzen und nach r, s und a umstellen. Damit hat man auch sein a.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 21.09.2009 | | Autor: | kaiD |
Ich verstehe weder, warum a=0 ist, noch warum ich t=1 setzen darf.
Ich kann ja in der Klausur schlecht schreiben a=0 wenn ich so eine Aufgabe bekomme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe weder, warum a=0 ist
Das habe ich nicht geschrieben !!!
> , noch warum ich t=1
> setzen darf.
Das verstehe ich auch nicht
FRED
> Ich kann ja in der Klausur schlecht schreiben a=0 wenn ich
> so eine Aufgabe bekomme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Wenn es ein a gibt, sodass die 3 Vektoren linear abhängig sind, so gibt es unendlich viele Tripel (r,s,t), die das Gleichungssystem
[mm] r\cdot{}\vektor{a \\ -3 \\ 5}+s\cdot{} \vektor{1 \\ -a \\ 2}+t\cdot{} \vektor{-2 \\ -2 \\ 2a} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
lösen würden.
Wenn z.B. (1,2,3) eine Lösung wäre, dann wäre (2,4,6) auch eine. Das kann man sich am Gleichungssystem oder auch geometrisch klar machen.
Auf alle Fälle kann man sich dann also einen festen Wert für r, s oder t wählen und wenn man dann nach dem Rest umstellt, dann kriegt man auch auf alle Fälle das a raus, für das die 3 Vektoren dann linear abhängig sind.
Das entstehende System hat dann nämlich genau eine Lösung und nicht mehr unendlich viele.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Mo 21.09.2009 | | Autor: | kaiD |
Vielen Dank, das leuchtet mir soweit ein.
Eigentlich wäre damit die Aufgabe erledigt, es seidenn es gibt noch einen alternativen Lösungsweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, das leuchtet mir soweit ein.
> Eigentlich wäre damit die Aufgabe erledigt, es seidenn es
> gibt noch einen alternativen Lösungsweg.
ja, zum einen kannst Du natürlich einfach Deine Rechnung von oben nochmal, so wie ich es Dir ergänzend erklärt habe, durchrechnen, zum anderen kam der Vorschlag mit der Determinante, welcher mMn ein wenig eleganter ist, da man eine Formel für die Det. einer $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix kennt. Dazu musst Du natürlich gewisse Kenntnisse über Determinanten haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wenn es ein a gibt, sodass die 3 Vektoren linear abhängig
> sind, so gibt es unendlich viele Tripel (r,s,t), die das
> Gleichungssystem
> [mm]r\cdot{}\vektor{a \\ -3 \\ 5}+s\cdot{} \vektor{1 \\ -a \\ 2}+t\cdot{} \vektor{-2 \\ -2 \\ 2a}[/mm]
> = [mm]\vec{o}[/mm]
> lösen würden.
> Wenn z.B. (1,2,3) eine Lösung wäre, dann wäre (2,4,6)
> auch eine. Das kann man sich am Gleichungssystem oder auch
> geometrisch klar machen.
>
> Auf alle Fälle kann man sich dann also einen festen Wert
> für r, s oder t wählen
Aha ! Auf das "oder" kommt es an ! Oben hast Du aber geschrieben: " .... t = 1 wählen" Dann machen wir das mal mit den Vektoren
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, x_2 [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 0}, x_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Diese sind sicher linear abhängig.
Nun betrachten wir
[mm] rx_1+sx_2+tx_3 [/mm] = 0.
Wenn wir hier t=1 wählen geht das ganze mächtig in die Hose
FRED
> und wenn man dann nach dem Rest
> umstellt, dann kriegt man auch auf alle Fälle das a raus,
> für das die 3 Vektoren dann linear abhängig sind.
> Das entstehende System hat dann nämlich genau eine
> Lösung und nicht mehr unendlich viele.
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Di 22.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm ja, da hast du Recht. Man muss etwas bei der Wahl des Parameters etwas aufpassen.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Bei der Aufgabe von KaiD hat man r,s und t. Wenn lineare Abhängugkeit vorliegt kann man sicher einen davon = 1 wählen. Nur welchen, weiß man zunächst nicht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Di 22.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Das Gute ist, dass man nur einmal falsch liegen kann.
Nämlich wenn man den Vektor erwischt, der nicht benötigt wird, um eine Vektorkette zu bilden.
Vielleicht nicht professionell, aber wenn man noch keine Determinanten hatte eine recht schnelle Alternative.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das Gute ist, dass man nur einmal falsch liegen kann.
> Nämlich wenn man den Vektor erwischt, der nicht benötigt
> wird, um eine Vektorkette zu bilden.
...... und wenn es davon mehrer gibt .. ?
FRED
> Vielleicht nicht professionell, aber wenn man noch keine
> Determinanten hatte eine recht schnelle Alternative.
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Di 22.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Wenn das 2 mal nicht klappt, dann existiert keine Vektorkette und die Vektoren können nicht linear abhängig sein.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Dann nehmen wir mal
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Da klappts zweimal nicht, die 3 Vektoren sind aber linear abhängig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Di 22.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Ok, dann muss noch gelten, dass kein Nullvektor dabei ist.
Du denkst echt an alles.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann muss noch gelten, dass kein Nullvektor dabei ist.
Auch das stimmt nicht. Wir gehen in den [mm] \IR^6:
[/mm]
[mm] \vektor{-16 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 0}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Hier klappts viermal nicht, die Vektoren sind linear abhängig, kein Nullvektor dabei
FRED
> Du denkst echt an alles.
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Di 22.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Nun gut, ich bin jetzt nur vom R³ ausgegangen, aber ansonsten hast du natürlich Recht.
Teufel
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