Lin. Abbildung von R² nach R³ < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 27.11.2014 | | Autor: | mac257 |
| Aufgabe | | Im [mm] $\IR^{2}$ [/mm] seien drei Vektoren [mm] $v_{1},v_{2},v_{3}$ [/mm] gegeben, im [mm] $\IR^{3}$ [/mm] seien [mm] $e_{1},e_{2},e_{3}$ [/mm] die Einheitsvektoren. Wieso gibt es keine lineare Abbildung [mm] $F:\IR^{2}\rightarrow\IR^{3}$, [/mm] die für alle $i=1,2,3$ die Bedingung [mm] $F(v_{i})=e_{i}$ [/mm] erfüllt? |
Hallo,
denke diese Frage ist ganz schnell beantwortet, bin mir nur nicht ganz sicher wo ich ansetzen soll. Geht es hier darum, dass man nicht alle drei Vektoren [mm] $v_{i}$ [/mm] "gleichzeitig" abbilden kann? Denn es gilt doch
[mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2}}\mapsto\vektor{e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3}} [/mm] und somit wäre für diesen Fall jetzt [mm] $v_{3}$ [/mm] nicht berücksichtigt, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Im [mm]\IR^{2}[/mm] seien drei Vektoren [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] gegeben,
> im [mm]\IR^{3}[/mm] seien [mm]e_{1},e_{2},e_{3}[/mm] die Einheitsvektoren.
> Wieso gibt es keine lineare Abbildung
> [mm]F:\IR^{2}\rightarrow\IR^{3}[/mm], die für alle [mm]i=1,2,3[/mm] die
> Bedingung [mm]F(v_{i})=e_{i}[/mm] erfüllt?
> Hallo,
> denke diese Frage ist ganz schnell beantwortet, bin mir
> nur nicht ganz sicher wo ich ansetzen soll. Geht es hier
> darum, dass man nicht alle drei Vektoren [mm]v_{i}[/mm]
> "gleichzeitig" abbilden kann? Denn es gilt doch
> [mm]\vektor{v_{1} \\ v_{2}}\mapsto\vektor{e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3}}[/mm]
Hä ? Die [mm] v_i [/mm] und [mm] e_i [/mm] sind vektoren !
> und somit wäre für diesen Fall jetzt [mm]v_{3}[/mm] nicht
> berücksichtigt, oder?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nimm mal an, es gäbe eine solche lin. Abbildung F.
Die Vektoren $ [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] $ sind linear abhängig, also gibt es reelle Zahlen [mm] t_1,t_2 [/mm] und [mm] t_3, [/mm] die nicht alle =0 sind, mit
(*) [mm] 0=t_1v_1+t_2v_2+t_3v_3.
[/mm]
So, nun lasse F auf (*) los. Dann bekommst Du einen Widerspruch. Welchen ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 27.11.2014 | | Autor: | mac257 |
> > Denn es gilt doch
> > [mm]\vektor{v_{1} \\ v_{2}}\mapsto\vektor{e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3}}[/mm]
>
> Hä ? Die [mm]v_i[/mm] und [mm]e_i[/mm] sind vektoren !
Ups...peinlich. Da habe ich was durcheinander bekommen, wollte nur die Abbildung beschreiben und nicht die Vektoren zu Elementen mutieren lassen.
Also ich leg mal los:
Seien [mm] $v_{1},v_{2},v_{3}$ [/mm] linear abhängig. Dann gilt: [mm] $\exists t_{1},t_{2},t_{3}\in \IR$ [/mm] für [mm] $t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+t_{3}v_{3}=0$, [/mm] nicht alle [mm] $t_{i}=0$.
[/mm]
Nach [mm] $F(v_{i})=e_{i}$ [/mm] folgt: [mm] $t_{1}e_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}=0$
[/mm]
Da [mm] $e_{i}$ [/mm] die Einheitsvektoren darstellt, ergibt sich:
[mm] $t_{1}\vektor{1\\0\\0}+t_{2}\vektor{0\\1\\0}+t_{3}\vektor{0\\0\\1}=0$
[/mm]
Nach Lösung ergibt sich für alle [mm] $t_{i}=0$, [/mm] was im Widerspruch zur Annahme steht (nicht alle [mm] $t_{i}=0$).
[/mm]
Korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Denn es gilt doch
> > > [mm]\vektor{v_{1} \\ v_{2}}\mapsto\vektor{e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3}}[/mm]
> >
> > Hä ? Die [mm]v_i[/mm] und [mm]e_i[/mm] sind vektoren !
>
> Ups...peinlich. Da habe ich was durcheinander bekommen,
> wollte nur die Abbildung beschreiben und nicht die Vektoren
> zu Elementen mutieren lassen.
>
> Also ich leg mal los:
>
> Seien [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] linear abhängig. Dann gilt:
> [mm]\exists t_{1},t_{2},t_{3}\in \IR[/mm] für
> [mm]t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+t_{3}v_{3}=0[/mm], nicht alle [mm]t_{i}=0[/mm].
> Nach [mm]F(v_{i})=e_{i}[/mm] folgt:
> [mm]t_{1}e_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}=0[/mm]
> Da [mm]e_{i}[/mm] die Einheitsvektoren darstellt, ergibt sich:
>
> [mm]t_{1}\vektor{1\\0\\0}+t_{2}\vektor{0\\1\\0}+t_{3}\vektor{0\\0\\1}=0[/mm]
> Nach Lösung ergibt sich für alle [mm]t_{i}=0[/mm], was im
> Widerspruch zur Annahme steht (nicht alle [mm]t_{i}=0[/mm]).
>
> Korrekt?
Ja.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 27.11.2014 | | Autor: | mac257 |
Super, so ein Denkanstoß hat mir wieder gefehlt! Besten Dank, bin begeistert!
|
|
|
|
