Lin. Abbildung & Homorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 06.12.2012 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Welche sind Endomorphismen/Isomorphismen/Automorphismen/Monomorphismen/Epimorphismen? (Jeweilsmit Beweis.)
a.) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] -3x
b.) f [mm] :\IR^2 \to \IR^2 [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \pmat{ 4y & 2x \\ 2y & x }
[/mm]
c.) f : [mm] \IR^4 \to \IR, [/mm] v [mm] \mapsto [/mm] 1
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Hallo,
ich hätte paar Fragen zu Homorphismen, ich hab das nicht ganz verstanden.
Bei der a.) hab ich herausgefunden, dass es ein Endomorphismus ist, da es linear ist aber nicht bijektiv ist und es bildet von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ab. Es ist nicht bijektiv weil es kein x gibt was auf -3x=1 abbildet.
Bei der b ist es Automorphismus, da Vektor [mm] \vektor{x \\ y} \in \IR^2 [/mm] ist und man jede Matrix nur einmal Abbilden kann also Bijektiv.
Bei der c.) hab ich meine Probleme. Ich kann mir nicht vorstellen wir ein Vektor v auf eine 1 Abbilden kann bzw. wie ein [mm] \IR^4 [/mm] auf [mm] \IR [/mm] Abbilden kann.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Mit freundlichen Grüßen
Hero ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Welche sind
> Endomorphismen/Isomorphismen/Automorphismen/Monomorphismen/Epimorphismen?
> (Jeweilsmit Beweis.)
>
> a.) f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] -3x
> b.) f [mm]:\IR^2 \to \IR^2[/mm] , [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \pmat{ 4y & 2x \\ 2y & x }[/mm]
>
> c.) f : [mm]\IR^4 \to \IR,[/mm] v [mm]\mapsto[/mm] 1
>
> Hallo,
> ich hätte paar Fragen zu Homorphismen, ich hab das nicht
> ganz verstanden.
>
> Bei der a.) hab ich herausgefunden, dass es ein
> Endomorphismus ist, da es linear ist aber nicht bijektiv
> ist und es bildet von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ab. Es ist nicht
> bijektiv weil es kein x gibt was auf -3x=1 abbildet.
Doch! So ein $x$ gibt es! Es gibt sogar zu jedem [mm] $y\in\IR$ [/mm] ein $x$ mit [mm] $-3x=y\,.$
[/mm]
>
> Bei der b ist es Automorphismus, da Vektor [mm]\vektor{x \\ y} \in \IR^2[/mm]
> ist und man jede Matrix nur einmal Abbilden kann also
> Bijektiv.
Surjektiv ist die Abbildung nicht. Es gibt z. B. kein [mm] $\pmat {x\\ y}\,,$ [/mm] das auf [mm] $\pmat {1&1\\1&1}$ [/mm] abgebildet wird.
>
> Bei der c.) hab ich meine Probleme. Ich kann mir nicht
> vorstellen wir ein Vektor v auf eine 1 Abbilden kann bzw.
> wie ein [mm]\IR^4[/mm] auf [mm]\IR[/mm] Abbilden kann.
Dies ist einfach eine konstante Abbildung, die jedes Element aus [mm] $\IR^4$ [/mm] auf 1 abbildet.
Ist diese linear?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 06.12.2012 | | Autor: | Hero991 |
Wenn du so fragst, nein ist sie nicht.
Aber ich hatte mir was anderes ausgerechnet gehabt.
Beweis von Linearität:
f(x)=1
[mm] f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2) \Rightarrow [/mm] 1 + 1 = 1* (1 + 1)
[mm] \lambda [/mm] * f(x)= f( [mm] \lambda [/mm] * x) [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] * 1 = 1 * [mm] \lambda
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wenn du so fragst, nein ist sie nicht.
Richtig!
>
> Aber ich hatte mir was anderes ausgerechnet gehabt.
>
>
> Beweis von Linearität:
> f(x)=1
>
> [mm]f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2) \Rightarrow[/mm] 1 + 1 = 1* (1 + 1)
Falsch! [mm] $f(x_1+x_2) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 2 = 1+ 1 = [mm] f(x_1)+f(x_2)\,.$ [/mm] Also hatte ich recht 
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 06.12.2012 | | Autor: | Hero991 |
Ich glaub ich fange an zu verstehen.
Bei $ [mm] f(x_1+x_2) [/mm] $ muss, dass gleiche rauskommen wie bei $ f(x), oder? Und da bei 1 +1 = 2 rauskommt, stimmt es nicht mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich glaub ich fange an zu verstehen.
> Bei $ [mm]f(x_1+x_2)[/mm] $ muss, dass gleiche rauskommen wie bei $
> f(x), oder? Und da bei 1 +1 = 2 rauskommt, stimmt es nicht
> mehr.
Genau!
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