Lin. Abb -> Abb.Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich lerne grad für meine LA-Klausur und merke das mir noch viele Sachen unklar sind. Wie funktioniert diese Aufgabe? Ich hab da mal [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] eingesetzt, bringt das was?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Fr 30.07.2010 | | Autor: | statler |
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> ![[]](/images/popup.gif) Aufgabe
Guten Morgen!
> ich lerne grad für meine LA-Klausur und merke das mir noch
> viele Sachen unklar sind. Wie funktioniert diese Aufgabe?
> Ich hab da mal [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> eingesetzt, bringt das was?
Ja, das bringt was: Du kennst jetzt (hoffentlich) die Bilder der Basisvektoren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Gut, vielen Dank ...
[mm] \varphi\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \varphi\left(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \varphi\left(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \varphi\left(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\right)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
aber weiter weiss ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 30.07.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Gut, vielen Dank ...
> [mm]\varphi\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\varphi\left(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\varphi\left(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\varphi\left(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\right)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> aber weiter weiss ich nicht.
Wenn das so stimmt, was ich hoffe, dann solltest du im nächsten Schritt die rechtsstehenden Matrizen als Linearkombinationen der Basis ausdrücken.
Weißt du, wie groß deine gesuchte Matrix wird?
Gruß
Dieter
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Klar, 2x2 soll da rauskommen. Hmm ich glaube zu wissen was du meinst so ein Ausdruck?
[mm] \varphi(\pmat{ a & b \\ c & d }) [/mm] = [mm] a\pmat{ x & x \\ x & x } [/mm] + [mm] b\pmat{ x & x \\ x & x } [/mm] + [mm] c\pmat{ x & x \\ x & x } [/mm] + [mm] d\pmat{ x & x \\ x & x }
[/mm]
Welche Bedingungen muss der erfüllen? Und was passiert wenn da stehen würde 2x4 oder so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Fr 30.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Klar, 2x2 soll da rauskommen. Hmm ich glaube zu wissen was
> du meinst so ein Ausdruck?
>
Ich meine so:
[mm]\varphi(\pmat{ a & b \\ c & d })[/mm] = [mm]v\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]w\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]x\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] + [mm]y\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> Welche Bedingungen muss der erfüllen? Und was passiert
> wenn da stehen würde 2x4 oder so?
Deine gesuchte M. ist eine 4x4-Matrix!
Gruß
Dieter
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> Hi!
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> > Klar, 2x2 soll da rauskommen. Hmm ich glaube zu wissen was
> > du meinst so ein Ausdruck?
> >
> Ich meine so:
>
> [mm]\varphi(\pmat{ a & b \\ c & d })[/mm] = [mm]v\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> + [mm]w\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]x\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] +
> [mm]y\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Ist das v,w,x,y Absicht? Oder muss a,b,c,d auch zu v,w,x,y geändert werden?
> Deine gesuchte M. ist eine 4x4-Matrix!
Jo, ich dachte du meinst die Linearkombination. Muss ich die 4 ausgerechneten Vektoren anordnen?
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Hallo Dr.Network,
> > Hi!
> >
> > > Klar, 2x2 soll da rauskommen. Hmm ich glaube zu wissen was
> > > du meinst so ein Ausdruck?
> > >
> > Ich meine so:
> >
> > [mm]\varphi(\pmat{ a & b \\ c & d })[/mm] = [mm]v\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > + [mm]w\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]x\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] +
> > [mm]y\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Ist das v,w,x,y Absicht?
Ja!
> Oder muss a,b,c,d auch zu v,w,x,y
> geändert werden?
Nein, warum?
Die $v,w,x,y$ bezeichnen die Koeffizienten in der Darstellung des Bildes unter [mm] $\varphi$ [/mm] eines Vektors [mm] $\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] als Linearkombination der Basis des Bildraumes.
Wie man halt üblicherweise die Darstellungsmatrix einer lin. Abb. bzgl. gegebener Basen ausrechnet.
Hier setze nacheinander für [mm] $\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] deine Basisvektoren (-matrizen) ein und stopfe die Koeffizienten als Spalte in die Darstellungsmatrix.
Wenn dir $v,w,x,y$ nicht gefällt, nenne die Koeffizienten [mm] $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ [/mm] oder [mm] $\lambda,\mu,\nu,\eta$ [/mm] oder wie ihr sie auch sonst üblicherweise bezeichnet ...
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> > Deine gesuchte M. ist eine 4x4-Matrix!
> Jo, ich dachte du meinst die Linearkombination. Muss ich
> die 4 ausgerechneten Vektoren anordnen?
Die oben beschriebene Prozedur angwandt auf den i-ten Basisvektor (Basismatrix) liefert die i-te Spalte der Darstellungsmatrix ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Dr.Network,
>
> > > Hi!
> > >
> > > > Klar, 2x2 soll da rauskommen. Hmm ich glaube zu wissen was
> > > > du meinst so ein Ausdruck?
> > > >
> > > Ich meine so:
> > >
> > > [mm]\varphi(\pmat{ a & b \\ c & d })[/mm] = [mm]v\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > > + [mm]w\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]x\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] +
> > > [mm]y\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> >
> > Ist das v,w,x,y Absicht?
>
> Ja!
>
> > Oder muss a,b,c,d auch zu v,w,x,y
> > geändert werden?
>
> Nein, warum?
>
> Die [mm]v,w,x,y[/mm] bezeichnen die Koeffizienten in der Darstellung
> des Bildes unter [mm]\varphi[/mm] eines Vektors [mm]\pmat{a&b\\c&d}[/mm] als
> Linearkombination der Basis des Bildraumes.
Hm sorry, komm mir blöd vor. Aber ich verstehs nicht. Wenn ich früher in der Analysis oder Schule f(x) hatte dann hiess das ich mach was mit dem x also f(x) = [mm] 3x^2+4x [/mm] und hier seh ich den zusammenhang zwischen a,b,c,d und v,w,x,y überhaupt nicht ...
> Wie man halt üblicherweise die Darstellungsmatrix einer
> lin. Abb. bzgl. gegebener Basen ausrechnet.
> Hier setze nacheinander für [mm]\pmat{a&b\\c&d}[/mm] deine
> Basisvektoren (-matrizen) ein und stopfe die Koeffizienten
> als Spalte in die Darstellungsmatrix.
Meinst du mit Basisvektoren die Matrizen die ich oben ausgerechnet hab, also die "Bilder der Basisvektoren" oder die richtigen "Basisvektoren". Ne... hm... versteh ich jetzt gar nicht. Die richtigen Basisvektoren stehen doch in der [mm] \varphi [/mm] ...?
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Hallo nochmal,
> Meinst du mit Basisvektoren die Matrizen die ich oben
> ausgerechnet hab, also die "Bilder der Basisvektoren" oder
> die richtigen "Basisvektoren". Ne... hm... versteh ich
> jetzt gar nicht. Die richtigen Basisvektoren stehen doch in
> der [mm]\varphi[/mm] ...?
Ok, du hast die Standardbasis [mm] $\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$ [/mm] gegeben lt. Aufgabenstellung.
Das ist ausgeschrieben [mm] $\left\{\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0},\pmat{0&0\\0&1}\right\}$
[/mm]
Und bzgl. dieser Basis sollst du die Darstellungsmatrix von [mm] $\varphi$ [/mm] aufstellen.
Dazu berechnest du erstmal die Bilder der obigen Basisvektoren unter [mm] $\varphi$
[/mm]
Das hast du ja schon gemacht, ich hab's aber nicht nachgerechnet ...
Ich rechne das mal ausführlich für den ersten Basisvektor ...
Mit [mm] $\varphi(A)=\pmat{1&1\\0&0}\cdot{}A+A\cdot{}\pmat{0&0\\1&1}$ [/mm] ergibt sich für den ersten Basisvektor:
[mm] $\varphi\left(\blue{\pmat{1&0\\0&0}}\right)=\pmat{1&1\\0&0}\cdot{}\blue{\pmat{1&0\\0&0}}+\blue{\pmat{1&0\\0&0}}\cdot{}\pmat{0&0\\1&1}=\green{\pmat{1&0\\0&0}}$
[/mm]
Und dieses Bild des ersten Basisvektors stelle nun als Linearkombination der Basisvektoren bzw. Basismatrizen dar:
[mm] $\green{\pmat{1&0\\0&0}}=\alpha\cdot{}\pmat{1&0\\0&0}+\beta\cdot{}\pmat{0&1\\0&0}+\gamma\cdot{}\pmat{0&0\\1&0}+\delta\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}$
[/mm]
Direkt abzulesen ist die Lösung [mm] $\vektor{\alpha\\\beta\\\gamma\\\delta}=\vektor{1\\0\\0\\0}$
[/mm]
Und den Vektor stopfst du nun als erste Spalte in die Darstellungsmatrix.
Analog gehe für die anderen Basisvektoren vor (in geordneter Reihenfolge). Das liefert dir sukzessive die 2.-4. Spalte der gesuchten Darstellungsmatrix.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 30.07.2010 | | Autor: | DrNetwork |
JAAAAAAAAA... Danke! Man das ist doch mal wieder so einfach wenn man es mal sieht :) Vielen Dank!
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Mir fällt gleich noch eine Frage ein. Was mach ich bei einer anderen Basis?
[mm] $\green{\pmat{1&0\\0&0}}=\alpha\cdot{}\pmat{1&0\\0&0}+\beta\cdot{}\pmat{0&1\\0&0}+\gamma\cdot{}\pmat{0&0\\1&0}+\delta\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}$ [/mm]
Die andere benutzen? Muss ich vorher noch was beachten?
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Hallo!
> Mir fällt gleich noch eine Frage ein. Was mach ich bei
> einer anderen Basis?
>
> [mm]\green{\pmat{1&0\\0&0}}=\alpha\cdot{}\pmat{1&0\\0&0}+\beta\cdot{}\pmat{0&1\\0&0}+\gamma\cdot{}\pmat{0&0\\1&0}+\delta\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}[/mm]
>
> Die andere benutzen? Muss ich vorher noch was beachten?
Es gibt zweierlei zu beachten:
Der Urbildraum und der Bildraum können in einer Aufgabe verschiedene Basen haben!
In deiner Aufgabe haben beide Räume dieselbe (in der Aufgabenstellung gegebene) Basis.
Die allgemeine, immer richtige Regel lautet:
"In den Spalten der Darstellungmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren des Urbildraumes als Koordinatenvektoren bzgl. der Bildraum-Basis."
(Mit "Bild eines Vektors v" ist dabei der Vektor gemeint, den ich erhalte, wenn ich v in die gegebene lineare Abbildung reinstecke).
Bei dir heißt das also jetzt für den Fall, das Urbildraum und Bildraum dieselbe Basis haben: Du musst auch die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung neu berechnen, d.h. wahrscheinlich ändert sich auch die grüne Matrix [mm] \green{\pmat{1&0\\0&0}}. [/mm] Dann musst du aber wieder wie gehabt das Gleichungssystem lösen, wobei rechts die in der Aufgabenstellung gegebene Basis steht.
Grüße,
Stefan
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Ich hab hier deinen coolen Artikel durchgelesen. Aber ich frag mich wie ich von meiner Abbildungsmatrix dieser Aufgabe, wieder auf die explizite Abbildungsvorschrift komme?
Ich rechne nämlich nun die Basis des Kerns aus. Also als Kern hab ich [mm] \vektor{-a \\ 0 \\ a\\ 0} [/mm] Stimmt das? Damit komm ich aber nicht auf die Basis?
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> Ich hab hier deinen coolen
> Artikel
> durchgelesen. Aber ich frag mich wie ich von meiner
> Abbildungsmatrix dieser Aufgabe, wieder auf die explizite
> Abbildungsvorschrift komme?
Hallo,
es ist doch [mm] g(\pmat{a&b\\c&d}= Abbildungsmatrix*\vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{k\\l\\m\\n}=\pmat{k&l\\m&n}.
[/mm]
(Die Spalten sind Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis des Matrizenraumes.
>
> Ich rechne nämlich nun die Basis des Kerns aus. Also als
> Kern hab ich [mm]\vektor{-a \\ 0 \\ a\\ 0}[/mm] Stimmt das?
Keine Ahnung. Ich sehe nämlich die Abbildungsmatrix nicht, so daß das Prüfen schwer fällt...
> Damit
> komm ich aber nicht auf die Basis?
Mal angenommen, Du hättest den Kern richtig bestimmt.
Dann wäre [mm] \vektor{-1\\0\\1\\0}=\pmat{-1&0\\0&1} [/mm] eine basis des Kerns.
Gruß v. Angela
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> Dann wäre [mm]\vektor{-1\\0\\1\\0}=\pmat{-1&0\\0&1}[/mm] eine basis
> des Kerns.
[mm]\vektor{-1\\0\\1\\0}=\pmat{-1&0\\1&0}\leftarrow[/mm] so Richtig
Ah, das hatte mich damals verwirrt :) Muss sowieso noch mal dran wird noch mal eine verdammt aktive Woche hier.
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> > Dann wäre [mm]\vektor{-1\\
0\\
1\\
0}=\pmat{-1&0\\
0&1}[/mm] eine basis
> > des Kerns.
>
> [mm]\vektor{-1\\
0\\
1\\
0}=\pmat{-1&0\\
1&0}[/mm]
>
> Ah, das hatte mich damals verwirrt :)
Hallo,
nun ist mir nicht ganz klar, ob Du immer noch verwirrt bist oder nicht mehr...
Ich sehe nämlich keine Frage, antworte aber trotzdem einfach mal:
der Spaltenvektor ist der Koordinatenvektor der Matrix bzgl der Standardbasis des Raumes der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen.
> Muss sowieso noch mal
> dran wird noch mal eine verdammt aktive Woche hier.
Tja, das Leben ist kein Ponyhof - und ein Studium auch nicht. Leider.
Gruß v. Angela
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Aufgabe