Lin.Unabh. und Determinante < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] Spaltenvektoren aus [mm] \IK^{5}. [/mm] Zeigen Sie, daß diese 4 Vektoren
genau dann linear unabhängig sind, wenn es in der (5 × 4)-Matrix A = [mm] (\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4}) [/mm] eine
Zeile gibt, nach deren Streichen die resultierende (4 × 4)- Matrix eine von Null verschiedene
Determinante hat. |
Hat hier jemand einen Ansatz?
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Hallo Egga-oerks (Oer-Erkenschwick?),
ich weiß nicht, was Dir an mathematischen Mitteln zur Verfügung steht. Ein Weg, der funktioniert, ist der folgende, sofern Ihr Formallogik und den Laplaceschen Entwicklungssatz behandelt habt:
Vorab: Eine Zeile der [mm] 5\times4-Matrix, [/mm] nach deren Streichung die Determinante der verbleibenden [mm] 4\times4-Matrix \not=0 [/mm] ist, heiße NND-Zeile (Nicht-Null-Determinanten-Zeile).
1) Aufteilung der Äquivalenzaussage "genau dann, wenn" in zwei Implikationen:
A: Wenn [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] linear unabhängig sind, gibt es eine NND-Zeile.
B: Wenn es eine NND-Zeile gibt, sind [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] linear unabhängig.
Formallogisch äquivalent sind diese beiden Aussagen:
A': Wenn es keine NND-Zeile gibt, sind [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] linear abhängig.
B': Wenn [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] linear abhängig sind, gibt es keine NND-Zeile.
"Es gibt keine NND-Zeile" heißt dabei offenbar: für jede Zeile der betrachteten [mm] 5\times4-Matrix [/mm] gilt, dass nach ihrer Streichung die Determinante der verbleibenden Matrix Null ist.
2) Nun führst Du einen allgemeinen (sprich: ganz beliebigen) Vektor [mm] \vec{a_5} [/mm] ein. Achte darauf, dass er völlig variabel bleibt, sonst ist er nicht mehr beliebig. Stelle ihn in die fünfte Spalte Deiner Matrix.
3) Dann ist A' leicht über den Laplaceschen Entwicklungssatz zu zeigen. Ist nämlich die Determinante für jeden [mm] \vec{a_5} [/mm] Null, dann müssen schon [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] linear abhängig gewesen sein.
4) B' macht vielleicht etwas mehr Mühe. Mach Dir klar, dass lineare Abhängigkeit heißt, dass mindestens einer der vier Vektoren [mm] \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\vec{a_4} [/mm] als Summe von skalaren Vielfachen der anderen drei darstellbar ist. Was heißt das für ihre einzelnen Koeffizienten und damit die betrachtete Matrix? Kann es eine NND-Zeile geben?
Hoffentlich gibt es auch einen einfacheren Weg. Ich sehe bloß gerade keinen. Hat jemand eine elegantere Idee?
Grüße
reverend
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