Lin.Abb.und Untervektorräume 2 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und es seien U und W Untervektorräume von V. Mittels komponentenweiser Operation wird V [mm] \times [/mm] V ebenfalls zu einem K-Vektorraum. Wir definieren Abbildungen [mm] \varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V [mm] \times [/mm] V, v [mm] \mapsto [/mm] (v,0), und [mm] \delta [/mm] : V [mm] \to [/mm] V [mm] \times [/mm] V, v [mm] \mapsto [/mm] (v,v), sowei X := [mm] \varphi(U) [/mm] + [mm] \delta(W).
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] und [mm] \delta [/mm] lineare Abbildungen über K sind.
(b) Folgern Sie, dass die Menge X ein Untervektorraum von V [mm] \times [/mm] V ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Abildung L: X [mm] \to [/mm] V, [mm] (x_1,x_2) \mapsto x_1 [/mm] , linear ist, und bestimmen Sie Kern L und Bild L. |
Hallo, meine Fragen nehmen mal wieder kein Ende ;) Also bei der (a) bin ich recht zuversichtlich:
Additivität von [mm] \varphi
[/mm]
[mm] \varphi(v+w) [/mm] = (v+w,0) = (v,0) +(w,0) = [mm] \varphi(v,0) [/mm] + [mm] \varphi(w,0) [/mm] mit v,w [mm] \in [/mm] V
Homogenität von [mm] \varphi
[/mm]
[mm] \varphi(\lambda [/mm] v) = [mm] (\lambda [/mm] v,0) = [mm] \lambda [/mm] (v,0) = [mm] \lambda \varphi(v) [/mm] mit v [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K
Für [mm] \delta [/mm] analog
(b) Wende das UVR-Kriterium an:
1. X [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Da U und W Untervektorräume sind, gilt 0 [mm] \in [/mm] U und 0 [mm] \in [/mm] W, zudem gilt [mm] \varphi(0) [/mm] + [mm] \delta(0) [/mm] = (0,0) + (0,0) = (0,0) [mm] \in [/mm] X
2. Abgeschlossenheit bzgl. Addition
Tja hier komm ich leider nicht wirklich weiter, ich hab angefangen mit:
Sei [mm] a=(a_1,a_2) [/mm] und [mm] b=(b_1,b_2) \in [/mm] X, dann gilt [mm] a+b=(a_1,a_2)+(b_1,b_2)
[/mm]
hier war ich mir aber dann nicht sicher, ob ich das einfach komponentenweise addieren darf oder ob ich da noch was vorher machen muss, hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
3. Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Mult.
Hier ist es das gleiche wie bei 2. auch hier bräuchte ich einen kleinen Ansatz
(c) Zu zeigen, dass L linear ist, ist kein Problem, allerdings hab ich Probleme bei der Berechnung von Kern und Bild. Also meine erste Vermutung war, dass L injektiv ist (dann wär ja der Kern {0}), denn aus [mm] L(x_1,x_2)=L(x_{1}',x_{2}') [/mm] folgt, dass [mm] x_1=x_{1}' [/mm] gilt, allerdings wird [mm] x_2 [/mm] ja quasi vernachlässigt, weswegen ich mir da äußerst unsicher bin. Ein kleiner Ansatz wär super.
Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo rainman_do!
Bitte keine Doppelposts hier einstellen. Du hast diese Frage gerade eben schon hier eingestellt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainman_do |
oh sorry, hab ich wohl zweimal draufgeklickt
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