Lin.Abb.und Untervektorräume 2 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und es seien U und W Untervektorräume von V. Mittels komponentenweiser Operation wird V [mm] \times [/mm] V ebenfalls zu einem K-Vektorraum. Wir definieren Abbildungen [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V [mm] \times [/mm] V, v [mm] \mapsto [/mm] (v,0), und [mm] \delta [/mm] : V [mm] \to [/mm] V [mm] \times [/mm] V, v [mm] \mapsto [/mm] (v,v), sowei X := [mm] \phi(U) [/mm] + [mm] \delta(W).
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] und [mm] \delta [/mm] lineare Abbildungen über K sind.
(b) Folgern Sie, dass die Menge X ein Untervektorraum von V [mm] \times [/mm] V ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Abildung L: X [mm] \to [/mm] V, [mm] (x_1,x_2) \mapsto \x_1, [/mm] linear ist, und bestimmen Sie Kern L und Bild L. |
Hallo, meine Fragen nehmen mal wieder kein Ende ;) Also bei der (a) bin ich recht zuversichtlich:
Additivität von [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi(v+w) [/mm] = (v+w,0) = (v,0) +(w,0) = [mm] \phi(v,0) [/mm] + [mm] \phi(w,0) [/mm] mit v,w [mm] \in [/mm] V
Homogenität von [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi(\lambda [/mm] v) = [mm] (\lambda [/mm] v,0) = [mm] \lambda [/mm] (v,0) = [mm] \lambda \phi(v) [/mm] mit v [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K
Für [mm] \delta [/mm] analog
(b) Wende das UVR-Kriterium an:
1. X [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Da U und W Untervektorräume sind, gilt 0 [mm] \in [/mm] U und 0 [mm] \in [/mm] W, zudem gilt [mm] \phi(0) [/mm] + [mm] \delta(0) [/mm] = (0,0) + (0,0) = (0,0) [mm] \in [/mm] X
2. Abgeschlossenheit bzgl. Addition
Tja hier komm ich leider nicht wirklich weiter, ich hab angefangen mit:
Sei [mm] a=(a_1,a_2) [/mm] und [mm] b=(b_1,b_2) \in [/mm] X, dann gilt [mm] a+b=(a_1,a_2)+(b_1,b_2)
[/mm]
hier war ich mir aber dann nicht sicher, ob ich das einfach komponentenweise addieren darf oder ob ich da noch was vorher machen muss, hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
3. Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Mult.
Hier ist es das gleiche wie bei 2. auch hier bräuchte ich einen kleinen Ansatz
(c) Zu zeigen, dass L linear ist, ist kein Problem, allerdings hab ich Probleme bei der Berechnung von Kern und Bild. Also meine erste Vermutung war, dass L injektiv ist (dann wär ja der Kern {0}), denn aus [mm] L(x_1,x_2)=L(x_{1}',x_{2}') [/mm] folgt, dass [mm] x_1=x_{1}' [/mm] gilt, allerdings wird [mm] x_2 [/mm] ja quasi vernachlässigt, weswegen ich mir da äußerst unsicher bin. Ein kleiner Ansatz wär super.
Vielen Dank im Voraus.
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JO. Hier erst mal ein paar Infos.
a) hast Du auf jeden Fall schonmal richtig.
b) Nimm Dir zwei Vektoren Element X.
Die Vektoren aus X bauen sich aus zwei Komponenten zusammen.
(x1, x2) wäre aber in diesem Fall etwas umständlich gewählt.
Schau Dir also nochmal die Definition von X an.
X := [mm] $\phi(U).$ +$\delta(W).$
[/mm]
Dann schau Dir nochmal die Defs von phi und Delta an. Nimm dir ein Element aus U und bilde es mit phi ab. Addiere ein Element aus W, das du vorher mit delta abbildest. Die Addition ist dann Element X. Das Ganze machst du zweimal, damit du Zwei Elemente aus X hast. Mit diesen Elementen kannst du dann ganz einfach die Axiome nachweisen.
Anmerkung dazu: Aufgrund des Aufgabentextes darfst Du natürlich Komponentenweise einfach so Addieren.
zu c) der Kern kann nicht {0} sein. Der Kern sind alle Elemente aus X für die gilt, dass L(X)=0. Dabei hast du eben das Problem, dass die zweite Komponente stört. Injektiv wäre die Abbildung nur dann, wenn NUR (0,0) auf die 0 abgebildet wird. Es werden aber alle Tupel (x1,x2) auf die 0 abgebildet, für die gilt, dass x1=0 und x2 beliebig aus W; also nicht so dolle und schon gar nicht injektiv.
Surjektivität hab ich jetzt noch nicht überprüft (Was für ein Zufall ich muss die gleiche Aufgabe bearbeiten!!).
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