Limes von unendlicher Wurzel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Fei |
Hallo Leute,
Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Betrachte die Folge
[mm] a_{0} [/mm] = 3, [mm] a_{n+1} [/mm] = 2 [mm] \wurzel[]{a_{n+1}-1} [/mm] , wobei n [mm] \ge [/mm] 0. Man untersuche sie auf Konvergenz und berechne ggf. den Grenzwert.
Nun stehe ich völlig auf dem Schlauch. Ich habe versucht, einen geschlossenen Term zu finden, konnte doch in keinster Weise ein System finden (zumal dann sowieso nur Wurzel aus Wurzel aus.... rauskommt), der Taschenrechner hatte mir nach 10 Schritten auch keine Konvergenz gezeigt.
Wie geht man nun allgemein auf solche Aufgaben ran, wenn man kein System findet?
Danke für eure Hilfe,
Fei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fei!
Weise nach, dass die Folge [mm] $a_n$ [/mm] sowohl beschränkt als auch monoton (fallend) ist. Damit ist die Konvergenz gezeigt.
Für die Ermittlung des Grenzwertes beachte: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ a$ .
Gruß
Loddar
PS: Du meinst aber doch sicher: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{a_{\red{n}}-1}$ [/mm] , oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Fei |
Hi,
Danke erstmal für deine Hilfe. Die Konvergenz überhaupt konnte ich dank deines Tipps mit Hilfe der Induktion beweisen.
Allerdings verstehe ich nicht was mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a [/mm] gemeint ist, also der Berechnung des tatsächlichen Grenzwertes. Könntest du es mir bitte etwas genauer erläutern? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Fei!
Unsere Rekursions-Vorschrift lautet ja: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{a_n-1}$
[/mm]
Wende ich darauf die Grenzwertbetrachtung an, ergibt sich:
[mm] $\blue{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(2*\wurzel{a_n-1} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{\red{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}-1}$
[/mm]
Die letzte Gleichheit gilt wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion.
Und nun kannst Du für [mm] $\blue{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}}$ [/mm] bzw. [mm] $\red{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}$ [/mm] jeweils den gesuchten (aber existierenden!) Grenzwert $a_$ einsetzen und nach $a_$ umstellen.
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Fei |
Ja, ich denke nun schon, dass ich das verstanden habe. Danke vielmals!
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