Limes und Minimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 20.11.2010 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Seien [mm] $(a_n)_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n)$ [/mm] konvergente reelle Folgen mit Grenzwerten $a$ bzw. $b$. Zeige:
$$ [mm] \lim_{n\to \infty} \min \{a_n,b_n \} [/mm] = [mm] \min \{a,b \}$$ [/mm] |
Hallo!
Ich habe schon herausbekommen, dass man erst ab einem bestimmten $n [mm] \ge [/mm] N$ sagen kann, dass [mm] $\min \{a_n,b_n \} [/mm] = [mm] a_n$ [/mm] (für den Fall $a<b$, für den Fall $a>b$ vertausche die Rollen von $a$ und $b$), womit die Behauptung folgt:
$$ [mm] \lim_{n\to \infty} \min \{a_n,b_n \} [/mm] = [mm] \lim_{n\to \infty} a_n [/mm] = a = [mm] \min \{a,b \}$$
[/mm]
So weit, so gut, ich habe jetzt eine grundsätzlichere Frage.
Ein Kommilitone meint, man könne rechnen:
$$ [mm] \lim_{n\to \infty} \min \{a_n,b_n \} [/mm] = [mm] \min \{ \lim_{n\to \infty} a_n, \lim_{n\to \infty} b_n \} [/mm] $$
Dann folge:
$$ [mm] \min \{ \lim_{n\to \infty} a_n, \lim_{n\to \infty} b_n \} [/mm] = [mm] \min \{a, b \} [/mm] = a $$
(Alles gesetzt den Fall $a<b$ )
Meine Frage: Darf man das? Darf man den Limes "reinziehen"? Oder verletzt man dabei irgendwelche Gesetze?
Gruß,
cauchy
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Hallo cauchy,
Dein Kommilitone benutzt exakt die Aussage der Aufgabe um die Aussage der Aufgabe zu beweisen.
Deshalb ziehe ich Deine Argumentation vor.
LG mathfunnel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 So 21.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir das Leben doch einfach:
[mm] $\min \{a,b \}=1/2(a+b-|a-b|)$
[/mm]
FRED
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