Limes superior < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
HI!
Ich habe ein Problem mit einem Beweis:
Für beschränkte Folgen [mm] (a_{n})_{0}^{\infty} [/mm] , [mm] (b_{n})_{0}^{\infty} [/mm] in [mm] \IR [/mm] soll ich zeigen dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] ) [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] b_{n}
[/mm]
Ich hab irgendwie noch nicht mal ne Ahnung wie ich hier anfangen könnte, deswegen würde ich mich über einen Tipp wirklich seeeeeeehr freuen....
Ich weiß nur das gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_{n} [/mm] = inf { x [mm] \in \IZ [/mm] : { n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_{n} [/mm] > x } beschränkt } muss ich das vielleicht irgendwie nutzen für den Beweis?
Gruß Katrin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Sa 10.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
>
> HI!
>
Hallo Katrin
> Ich habe ein Problem mit einem Beweis:
>
> Für beschränkte Folgen [mm](a_{n})_{0}^{\infty}[/mm] ,
> [mm](b_{n})_{0}^{\infty}[/mm] in [mm]\IR[/mm] soll ich zeigen dass gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](a_{n}[/mm] + [mm]b_{n}[/mm] ) [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> sup [mm]a_{n}[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]b_{n}[/mm]
>
> Ich hab irgendwie noch nicht mal ne Ahnung wie ich hier
> anfangen könnte, deswegen würde ich mich über einen Tipp
> wirklich seeeeeeehr freuen....
>
> Ich weiß nur das gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]a_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= inf { x [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: { n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]a_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> x }
> beschränkt } muss ich das vielleicht irgendwie nutzen für
> den Beweis?
Der Limsup ist der grösste Häufungspunkt einer Folge, d.h. ist a der Limsup einer Folge $a_n$, dann sind für jedes $\varepsilon>0$ nur endlich viele Folgenglieder grösser als $a+\varepsilon$.
Wenn also a und b die Limsups der beiden Folgen sind, dann gilt nur für endlich viele n, dass $a_n>a+\varepsilon$ und $b_n>b+\varepsilon$ und logischerweise ist dann nur für endlich viele n $a_n+b_n>a+b+2\varepsilon$ (und das gilt für alle $\varepsilon>0$!). Die letzte Aussage ist aber Aequivalent zur Aussage, dass der Limsup von $a_n+b_n\leq a+b$ ist, was zu beweisen war.
mfG Moudi
>
> Gruß Katrin
|
|
|
|
