Limes mit Ln und Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{x^3+1}-x}{2ln(x)-ln(x^2+1)}[/mm] |
Hallo!
Noch ein Limes der ohne L'Hospital zu berechnen ist und bei dem ich nach Erweiterung zumindest so weit gekommen bin:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}})(\sqrt[3]{(x^3+1)^2}+\sqrt[3]{x^3+1}x+x^2}[/mm]
Ich habe keine Ahnung wie ich den Logarithmus verändern könnte, dass es mir passt....wahrscheinlich übersehe ich was.
Hat jemand einen Tipp?
Gruß
Angelika
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Ich könnte mir das Folgende vorstellen. Man substituiert [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] und führt den Grenzübergang [mm]t \to 0+0[/mm] durch:
[mm]\frac{\sqrt[3]{x^3 + 1} - x}{2 \ln x - \ln \left( x^2 + 1 \right)} = - \frac{\sqrt[3]{t^3 + 1} - 1}{t \ln \left( t^2 + 1 \right)}[/mm]
Mit Hilfe der binomischen Reihe im Zähler und der Logarithmusreihe im Nenner findet man daraus:
[mm]- \frac{ \frac{1}{3} \, t^3 + O(t^6)}{t^3 + O(t^5)} = - \frac{ \frac{1}{3} + O(t^3)}{1 + O(t^2)} \to - \frac{1}{3} \ \ \mbox{für} \ \ t \to 0+0[/mm]
Die Einzelheiten der Rechnung seien dir überlassen.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:28 Do 26.11.2009 | | Autor: | AbraxasRishi |
Danke für deinen Vorschlag!
Ich würde ihn auch gerne verwenden, wenn wir die Logarithmusreihe voraussetzen dürften. Geht das nicht elementarer?
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Do 26.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Angelika,
ihr scheint einen etwas übereifrigen Aufgabensteller zu haben...
Ich sehe keinen Weg, wie man das elementar lösen kann.
Der Grenzwert scheint übrigens [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] zu sein. 
lg
reverend
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Der Witz ist:Ich studiere gar nicht Mathematik!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 26.11.2009 | | Autor: | reverend |
Ich auch nicht...
Dafür sind die Aufgaben aber echt ziemlich heftig!
Viel Erfolg trotzdem.
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\sqrt[3]{x^3+1}-x}{2\,ln(x)-ln(x^2+1)}[/mm]
> Hallo!
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> Noch ein Limes der ohne L'Hospital zu berechnen ist und bei
> dem ich nach Erweiterung zumindest so weit gekommen bin:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{1}{ln(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}})(\sqrt[3]{(x^3+1)^2}+\sqrt[3]{x^3+1}\,x+x^2)}[/mm]
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> Ich habe keine Ahnung wie ich den Logarithmus verändern
> könnte, dass es mir passt....wahrscheinlich übersehe ich
> was.
> Hat jemand einen Tipp?
>
> Gruß
>
> Angelika
Guten Abend Angelika,
nehmen wir uns diesen Patienten nochmal vor.
Wenn wir [mm] w=w(x):=\sqrt[3]{x^3+1} [/mm] setzen, so ist also gesucht:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{-1}{(w^2+w*x+x^2)*ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}$
[/mm]
oder:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{-1}{\red{(\frac{w^2}{x^2}+\frac{w}{x}+1)}*\blue{x^2*ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$
[/mm]
Nun ist leicht zu zeigen, dass [mm] \frac{w}{x} [/mm] gegen 1 strebt und
damit der rote Klammerausdruck gegen 3.
Bleibt also der blaue Term zu untersuchen. Mit [mm] t:=\frac{1}{x^2}
[/mm]
ist der Grenzwert
[mm] \limes_{t\downarrow 0}\ \frac{ln(1+t)}{t}
[/mm]
zu bestimmen. Zu diesem Zweck betrachten wir die
Funktion $f(x)=ln(x)$ an der Stelle $x=1$. Es gilt [mm] f'(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
und also $f'(1)=1$ und damit
[mm] \limes_{t\downarrow 0}\ \frac{ln(1+t)-\overbrace{ln(1)}^{0}}{t}=1
[/mm]
LG Al
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