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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 05.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | [mm] lim_{x->0} e^{-1/x^2} [/mm] |
[mm] lim_{x->0} -1/x^2 [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
oder muss ich da Hospital anwenden? oder stimmt intuition?
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Hallo,
weder benötigt man de l'Hospital, noch stimmt deine intuitive Lösung: überlege mal nochmals genau, gegen welchen Wert der Exponent von beiden Seiten strebt. Dann wird der Grenzwert unmittelbar klar.
Gruß, Diophant
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Hi, schreibe [mm] lim_{x->0} e^{-1/x^2} [/mm] doch um in [mm] lim_{x->0} \bruch{1}{e^{1/x^2}}. [/mm] Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Do 05.04.2012 | | Autor: | Lu- |
$ [mm] lim_{x->0} \bruch{1}{e^{1/x^2}}. [/mm] $ = [mm] lim_{x->0} \bruch{0}{e^{1/x^2} \frac{-2}{x^3}}
[/mm]
Aber da ist dann doch immer ein x im Nenner.
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Ich verstehe nicht, was du da gemacht hast. für [mm] lim_{x->0} \bruch{1}{e^{1/x^2}}, [/mm] nur den Nenner betrachtend: was ist denn [mm] lim_{x->0} {e^{1/x^2}} [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 05.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich dachte, ich soll Hospital anwenden.
> was ist denn $ [mm] lim_{x->0} {e^{1/x^2}} [/mm] $ ?
+ [mm] \infty [/mm] oder, wenn ich mir den Grafen an der STelle 0 anschaue, geht es von rechts und link nach + [mm] \infty.
[/mm]
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genau, unendlich stimmt=). und was ist dann [mm] lim_{x->0} \bruch{1}{e^{1/x^2}}, [/mm] wenn salopp der Nenner gegen unendlich geht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> genau, unendlich stimmt=). und was ist dann [mm]lim_{x->0} \bruch{1}{e^{1/x^2}},[/mm]
> wenn salopp der Nenner gegen unendlich geht?
Geht gegen 0.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > genau, unendlich stimmt=). und was ist dann [mm]lim_{x->0} \bruch{1}{e^{1/x^2}},[/mm]
> > wenn salopp der Nenner gegen unendlich geht?
> Geht gegen 0.
das kann man auch sauber aufschreiben:
Wegen [mm] $e^x \ge [/mm] 1+x$ (für alle $x [mm] \in \IR$) [/mm] ist [mm] $e^{1/x^2} \ge 1+1/x^2 \ge 1/x^2\,.$ [/mm] Wegen [mm] $\lim_{x \to 0} (1/x^2)=\infty$ [/mm] folgt damit also [mm] $\lim_{x \to 0}e^{1/x^2}=\infty\,.$
[/mm]
(Das bekommt man direkt per Definitionem, wann eine Folge/Funktion gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt!)
Mit [mm] $e^{-1/x^2}=\frac{1}{e^{1/x^2}}$ [/mm] erhält man also insgesamt
[mm] $$0=\frac{1}{\lim_{x \to 0} e^{1/x^2}}\;\red{=}\;\lim_{x \to 0}\frac{1}{e^{1/x^2}}=\lim_{x \to 0}e^{-1/x^2}\,.$$
[/mm]
Dabei bedarf dann das [mm] $\;\red{=}\;$ [/mm] vielleicht(!) noch einer (kleinen) genaueren Begründung!
Gruß,
Marcel
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