Limes der Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei v: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] stetig differenzierbar und die Differentialgleichung y'' = v(y,y') besitze eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Lösung y [mm] \in C^{1}(\IR), [/mm] für die der Limes b := [mm] \lim_{n \to \infty}y(t) [/mm] existiert. Zeigen Sie, dass dann auch die konstante Funktion y=b eine Lösung der Differentialgleichung ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würde jetzt gerne meine eigenen Ideen schildern, doch das Problem ist, das ich nicht wirklich weiß, wie ich diese Aufgabe handhaben soll. Der ein oder andere Hinweis wäre also ganz nett und würde mir wahrscheinlich wahnsinnig weiterhelfen, da ich diese Aufgabe sonst nicht wirklich bearbeiten kann.
Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast lim[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} y(x)=b \textrm{ Was folgt daraus für } \limes_{x\rightarrow\infty} y'(x) \textrm{ und
}\limes_{x\rightarrow\infty} y''(x)[/mm]
und was für lim g(y(x),y'(x)
Wenn y=b ne Lösung ist, was muss dann gelten?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Es muss dann gelten [mm] \lim_{n \to \infty}y'(x) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}y''(x) [/mm] = 0, da eine konstante Funktion abgeleitet null ergibt, ebenso wenn man null ableitet.
Da y'' = v(y,y') muss dann auch [mm] \lim_{n \to \infty}v(y,y') [/mm] = 0 gelten und wenn y=b eine Lösung sein soll, müsste zusätzlich noch 0 = v(b,0) gelten (dies erhält man durch einsetzen in die Dgl.)
Aber wie kann man jetzt folgern, dass y=b auch wirklich eine Lösung ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch durch die GW Betrachtungen raus dass gilt
0=v(b,0) und y=b y'=y''=0 ist Lösung dieser Gleichung also lösung der Dgl. wie durch einsetzen bestätigt.
gruss leduart
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Ok, danke!
Vielen Dank für deine Hilfe!
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