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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{-x} [/mm] |
N'Abend allerseits !
umgeformt ist das [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^{x}}
[/mm]
jetzt fällt mir da,weil der Ausdruck : [mm] \infty^{\infty}ist [/mm] "spontan ein",
[mm] \bruch{1}{e^{x*lnx}} [/mm] bzw.
[mm] \bruch{1}{e^{\bruch{lnx}{\bruch{1}{x}}}} [/mm] und nu ?Darf ich L'Hospitalisieren ?:)
daraus würde [mm] =>\bruch{1}{e^{\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x²}}}}
[/mm]
[mm] =>\limes_{x\rightarrow\infty}e^{x} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Ist das so korrekt ?
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Hallo MacChevap,
> Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{-x}[/mm]
> N'Abend allerseits !
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> umgeformt ist das
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^{x}}[/mm]
>
> jetzt fällt mir da,weil der Ausdruck : [mm]\infty^{\infty}ist[/mm]
> "spontan ein",
>
> [mm]\bruch{1}{e^{x*lnx}}[/mm] bzw.
>
> [mm]\bruch{1}{e^{\bruch{lnx}{\bruch{1}{x}}}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
bis hierher alles richtig !!
> und nu ?Darf ich
> L'Hospitalisieren ?:)
ich denke nicht, denn [mm] $\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ [/mm] strebt ja für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{\infty}{0}$
[/mm]
Also sind nicht die Voraussetzungen gegeben, um de l'Hopital anwenden zu können
> daraus würde
> [mm]=>\bruch{1}{e^{\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x²}}}}[/mm]
>
> [mm]=>\limes_{n\rightarrow\infty}e^{x}[/mm] = [mm]\infty[/mm] ?
>
> Ist das so korrekt ?
Die Idee, das [mm] $x^{-x}$ [/mm] mithilfe der $e$-Funktion darzustellen, ist schon goldrichtig.
Ich würde es direkt so ansetzen:
[mm] $x^{-x}=e^{-x\cdot{}\ln(x)}$
[/mm]
Nun schaue dir [mm] $-x\cdot{}\ln(x)$ [/mm] an.
Was passiert hier für [mm] $x\to\infty$? [/mm] Nun, $x$ und [mm] $\ln(x)$ [/mm] gehen beide gegen [mm] $\infty$, [/mm] also [mm] $x\cdot{}\ln(x)\longrightarrow \infty\cdot{}\infty=\infty$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Dann noch das "-" davor, also:
[mm] $\lim\limits_{x\to\infty}(-x\cdot{}\ln(x))=-\infty$
[/mm]
Damit strebt dann [mm] $e^{\red{-x\cdot{}\ln(x)}}$ [/mm] gegen [mm] $e^{-\infty}=0$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$ [/mm] - mal salopp aufgeschrieben 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 13.12.2007 | | Autor: | Zorba |
Kann man das nicht kürzer machen? Ich meine, man sieht dass der Nenner immer größer wird und zwar gegen unendlich und der Zähler is immer 1. Dann is der Grenzwert wohl oder übel 0, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zorba!
Das geht m.E. auch so vereinfacht.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 13.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast eigentlich recht, aber das was du sagst, nämlich der nenner wird beliebig gross, musst du irgendwie zeigen, eben indem du die e-fkt verwendest, von der als bekannt vorrausgesetzt wird, wie sie sich für grosse x verhält!
Einfach nur sagen: wird beliebig gross reicht nicht! Du glaubst vielleicht nicht, aber hier im matheraum kommen solche Behauptungen auch oft, ohne Begründung und stimmen nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | MacChevap |
Ich hatte mich oben verguckt...danke für ausführlichen Antworten !
Diese rege Diskussion über meine relativ "einfache" Frage, aus einer Prüfung aus dem Jahre 92' motiviert mich ( noch eine zu stellen :)
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