Limes Superior < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 04.12.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\IR\longrightarrow\IR$ [/mm] eine stetige (und eventuell stetig differenzierbare) Funktion mit
[mm] $\limsup_{\vert{x}\vert\to\infty}\frac{f(x)}{x}\leqslant [/mm] 0$
Dann gilt (trivialerweise):
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,C=C(\varepsilon):\quad\int_{0}^{s}f(x)dx\leqslant\varepsilon\cdot s^2+C\quad\forall\,-\infty |
Hallo,
ich habe im Buch etwas gefunden, was ich nicht wirklich nachvollziehen kann. Hat jemand eine Idee, wie diese Folgerung zustande kommt?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 04.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das C hängt ja von Epsilon ab, und es ist nur ausgesagt, dass so ein C existiert.
Du musst das C also nur genügend groß wählen für die Abschätzung - alles andere ist ja vorgegeben.
Das Ganze würde nur nicht funktionieren, wenn das Integral unendlich wäre, aber das ist offenbar durch die lim sup - Bedingung ausgeschlossen.
Bitte prüfe das!
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> das C hängt ja von Epsilon ab, und es ist nur ausgesagt,
> dass so ein C existiert.
> Du musst das C also nur genügend groß wählen für die
> Abschätzung - alles andere ist ja vorgegeben.
> Das Ganze würde nur nicht funktionieren, wenn das Integral
> unendlich wäre, aber das ist offenbar durch die lim sup -
> Bedingung ausgeschlossen.
Das ist doch Unsinn !
Das Integral
[mm] \int_{0}^{s}f(x)dx
[/mm]
ist doch für kein s unendlich ! f ist doch auf [mm] \IR [/mm] stetig
FRED
> Bitte prüfe das!
>
> LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 04.12.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo und danke für die Antwort, aber
so wirklich kann ich den Term [mm] $s^2$ [/mm] aber noch nicht nachvollziehen.
Und ich sehe auch erlich gesagt nicht wirklich, wo in Deiner Formulierung der Limes Superior eingegangen ist. Beachte: Die Funktion $f$ ist stetig auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] und daher ist das Integral für ein festes [mm] $s<\infty$ [/mm] natürlich endlich. Dabei spielt die Limes-Superior-Schranke also keine Rolle. Die ist vermutlich vielmehr an der Existenz des [mm] $\varepsilon$ [/mm] Schuld.
Jemand eine Idee für die Begründung dieser Abschätzung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe
> Sei $ [mm] f:\IR\longrightarrow\IR [/mm] $ eine stetige (und eventuell stetig
> differenzierbare) Funktion mit
> $ [mm] \limsup_{\vert{x}\vert\to\infty}\frac{f(x)}{x}\leqslant [/mm] 0 $
> Dann gilt (trivialerweise):
> $ [mm] \forall\,\varepsilon>0\;\exists\,C=C(\varepsilon):\quad\int_{0}^{s}f(x)dx\leqslant\varepsilon\cdot s^2+C\quad\forall\,-\infty
also wichtig scheint es mir, hier zu beachten, dass das [mm] $C=C(\varepsilon)$ [/mm] unabhängig von $s$ gewählt werden kann; sonst wäre wirklich alles banal.
O.E. sei $0 < s < [mm] \infty\,.$ [/mm] Sei nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Nach Voraussetzung existiert dann ein $X > 0$, so dass [mm] $\frac{f(x)}{x} \le \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \ge X\,.$
[/mm]
Nun sei zunächst $s [mm] \ge X\,.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $$\int_0^s f=\int_0^Xf(x)\;dx+\int_X^sf(x)\;dx \le \int_0^X f(x)\;dx+\int_X^s \varepsilon *x\;dx=\int_0^X f(x)\;dx+\left\{\varepsilon \underbrace{\frac{s^2-X^2}{2}}_{\le \frac{s^2}{2}}\right\} \le \int_0^X f+\varepsilon*\frac{s^2}{2}$$
[/mm]
Wir definieren nun [mm] $C:=\max\left\{\int_0^s f(x)\;dx; 0 \le s \le X\right\}$ [/mm] (Stetige Funktionen auf Kompakten Mengen nehmen ihr Maximum an! Beachte, dass $F$ mit [mm] $F(s):=\int_0^s f(x)\;dx$ [/mm] dann stetig auf dem Kompaktum $[0,X]$ ist.)
Dann gilt für $0 < s < X$:
[mm] $$\int_0^s [/mm] f [mm] \le [/mm] C [mm] \le C+\varepsilon*s^2$$
[/mm]
und für alle $X [mm] \le [/mm] s$ (s.o.):
[mm] $$\int_0^s [/mm] f [mm] \le \int_0^X f+\frac{\varepsilon}{2}s^2 \le C+\frac{\varepsilon}{2}s^2 \le C+\varepsilon*s^2\,.$$
[/mm]
Also stimmt die Behauptung für alle $s > [mm] 0\,$ [/mm] (meinetwegen kannst Du auch noch den Fall $s=0$ separat betrachten, oder Du nimmst oben [mm] $C:=\max\left\{1,\;\max\left\{\int_0^s f(x)\;dx; 0 \le s \le X\right\}\right\}$; [/mm] denn dann ist insbesondere $C > 0$ und die Behauptung stimmt dann jedenfalls für alle $s [mm] \ge [/mm] 0$).
Analog kannst Du sie für $s < 0$ zeigen (oder irgendwie auf den obigen Fall zurückführen) und nachher alles zusammenbasteln.
P.S.:
Kontrolliere das bitte alles nochmal. Ich kenne mich mit dem Begriff des Limsup bei Funktionen nicht ganz so gut aus, also wenn ich gepatzt habe, dann sicher an einer Stelle, wo sowas benutzt wird. Aber ich habe mal versucht, mit zu überlegen, was [mm] $\limsup_{x \to \infty}f(x)$ [/mm] bedeutet; auch, wenn das ![[]](/images/popup.gif) hier nicht steht, denke ich, dass man damit dann das, was ich oben behauptet habe, erhält:
$$f(x)/x [mm] \le \varepsilon$$ [/mm] für alle genügend große [mm] $\,x\,.$
[/mm]
Ich schätze mal, man definiert:
[mm] $$\limsup_{x \to \infty} g(x)=\inf_{M > 0} sup\; g((M,\,\infty))?$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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