Limes - Umformung erlaubt? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
| Aufgabe | [mm] a_{n} [/mm] Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = c > 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a_{n}*x}{n})^{n} [/mm] = ... ? |
Hallo!
Ich habe das Problem etwas abstrahiert. Ist folgende Umformung zulässig?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a_{n}*x}{n})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{c*x}{n})^{n} [/mm] = ...
Ich habe da so meine Zweifel. Versucht habe ich das Ganze auf die mir bekannten ![[]](/images/popup.gif) Limes Rechenregeln zurückzuführen, hatte aber kein Erfolg.
Über einen Tipp oder Antwort wäre ich dankbar.
Gruß
Ebri
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Hiho,
> Ich habe da so meine Zweifel.
Zu recht!
Du kannst ja nicht einfach Teile der Folge stehen lassen und seperat berechnen.
Nach deiner Theorie könnte man ja auch so umformen:
$e = [mm] \lim_{n\to\infty} \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \left(1 + \lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \left(1 \right)^n [/mm] = 1$
> Über einen Tipp oder Antwort wäre ich dankbar.
Schätze die Folge mit Hilfe von [mm] $c_n \in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)$ [/mm] für ausreichend große n ab und begründe das mit der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] vom Grenzwert.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Hiho,
>
> > Ich habe da so meine Zweifel.
>
> Zu recht!
> Du kannst ja nicht einfach Teile der Folge stehen lassen
> und seperat berechnen.
> Nach deiner Theorie könnte man ja auch so umformen:
>
> [mm]e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1 \right)^n = 1[/mm]
>
> > Über einen Tipp oder Antwort wäre ich dankbar.
>
> Schätze die Folge mit Hilfe von [mm]c_n \in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)[/mm]
> für ausreichend große n ab und begründe das mit der
> [mm]\varepsilon[/mm]-Definition vom Grenzwert.
>
> Gruß,
> Gono.
Hallo Gono,
ich habe über deinen Tipp nachgedacht, aber so richtig ist der Funke noch nicht übergesprungen. Das man nicht zu Umformen kann ist mir jetzt klar.
Ich weiß:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = c d.h. [mm] \forall \varepsilon>0 \; \exists N_a\in\mathbb{N} \; \forall [/mm] n [mm] \ge N_a: \;\left|a_n-c \right|<\varepsilon
[/mm]
Setzen wir mal [mm] b_n:=(1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n}
[/mm]
Zeigen möchte ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] = [mm] e^{cx} [/mm] (Das Stimmt doch, oder?)
Zu deinen Tipp: Die Folge mit [mm] c_n \in(c-\varepsilon,c+\varepsilon) [/mm] abzuschätzen. Wo genau kommt [mm] c_n [/mm] her?
In etwa so?
... [mm] (1+\bruch{(c-\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{(c+\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n} [/mm] ...
Gruß
Ebri
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > Ich habe da so meine Zweifel.
> >
> > Zu recht!
> > Du kannst ja nicht einfach Teile der Folge stehen
> lassen
> > und seperat berechnen.
> > Nach deiner Theorie könnte man ja auch so umformen:
> >
> > [mm]e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1 \right)^n = 1[/mm]
>
> >
> > > Über einen Tipp oder Antwort wäre ich dankbar.
> >
> > Schätze die Folge mit Hilfe von [mm]c_n \in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)[/mm]
> > für ausreichend große n ab und begründe das mit der
> > [mm]\varepsilon[/mm]-Definition vom Grenzwert.
> >
> > Gruß,
> > Gono.
>
> Hallo Gono,
>
> ich habe über deinen Tipp nachgedacht, aber so richtig ist
> der Funke noch nicht übergesprungen. Das man nicht zu
> Umformen kann ist mir jetzt klar.
> Ich weiß:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = c d.h. [mm]\forall \varepsilon>0 \; \exists N_a\in\mathbb{N} \; \forall[/mm]
> n [mm]\ge N_a: \;\left|a_n-c \right|<\varepsilon[/mm]
>
> Setzen wir mal [mm]b_n:=(1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n}[/mm]
>
> Zeigen möchte ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm] = [mm]e^{cx}[/mm]
> (Das Stimmt doch, oder?)
>
> Zu deinen Tipp: Die Folge mit [mm]c_n \in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)[/mm]
> abzuschätzen. Wo genau kommt [mm]c_n[/mm] her?
Da hat Gono sich verschrieben. Es ist [mm] c_n=a_n
[/mm]
Du mußßt schon etwas präziser sein:
Ist [mm] \varepsilon [/mm] >0, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm]a_n \in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)[/mm] für alle n mit n>N.
>
> In etwa so?
> ... [mm](1+\bruch{(c-\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{(c+\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n}[/mm]
Ja, also
(*) [mm](1+\bruch{(c-\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{(c+\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n}[/mm] für alle n mit n>N.
Aber ..... auch hier solltest Du noch etwas spendieren, damit die obigen Ungleichungen wirklich richtig sind.
Überlege Dir, dass es ein [mm] N_1 [/mm] >N gibt mit:
[mm] 1+\bruch{(c-\varepsilon)\cdot{}x}{n} \ge [/mm] 0,
[mm] 1+\bruch{(c+\varepsilon)\cdot{}x}{n} \ge [/mm] 0
und
[mm] 1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n} \ge [/mm] 0
für alle n> [mm] N_1
[/mm]
dann haben wir
(*) [mm](1+\bruch{(c-\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n} \le (1+\bruch{(c+\varepsilon)\cdot{}x}{n})^{n}[/mm] für alle n mit [mm] n>N_1.
[/mm]
Damit ist die Folge [mm] ((1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n}) [/mm] beschränkt.
Ist nun a ein Häufungswert dieser Folge , so folgt aus (*)
[mm] e^{(c-\varepsilon)x} \le [/mm] a [mm] \le e^{(c+\varepsilon)x}.
[/mm]
Nun lassen wir [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 gehen und bekommen:
[mm] e^{cx}=a [/mm] für jeden Häufungswert a von [mm] ((1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n}) [/mm]
Damit ist [mm] ((1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n}) [/mm] beschränkt und hat nur einen Häufungswert. Also ist [mm] ((1+\bruch{a_{n}\cdot{}x}{n})^{n}) [/mm] konvergent und hat den Grenzwert [mm] e^{cx}
[/mm]
FRED
> ...
>
> Gruß
> Ebri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
Hallo FRED, danke für die Erklärung. Ich gehe das jetzt in Ruhe durch und (versuche) die fehlenden Begründungen zu ergänzen. Dir noch einen schönen Abend.
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