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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mo 09.02.2009 | | Autor: | waruna |
Zeigen Sie: für alle k [mm] \in [/mm] N, z [mm] \in [/mm] C mit |z| > 1 gilt:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{k}}{z^{n}}=0 [/mm]
Ich weiss, dass man binomischen Satz benutzen muss, aber wie genau, konnte ich nicht ausdenken.
Kleiner Hinweis wird bestimmt helfen :).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo waruna!
Ersetze im Nenner $z \ := \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$ [/mm] bzw. gemäß  Moivre-Formel [mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$ [/mm] .
Anschließend den Bruch zerlegen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 10.02.2009 | | Autor: | waruna |
Ich habe also sowas ausgedacht:
Ich werde zeigen, dass
[tex]n^{k}/r^{n}[/tex] gegen 0 konvergieren, und weil diese Reste mit sin und cos konwergiert nicht (lim ex. nicht), ein Produnkt geht auch gegen 0.
Das kann man zeigen, wenn man nutzt: [tex]n^{k} = e^{klogn}[/tex].
Darf man so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo waruna!
Da kann ich Dir gerade leider nicht ganz folgen ... bitte rechen das doch mal vor, wie Du das meinst.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^k}{z^n}.
[/mm]
Dann: [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel[n]{n})^k}{|z|} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{|z|} [/mm] <1
Nach dem Wurzelkriterium ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergent, also ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
FRED
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Moin,
das find' ich in seiner Einfachheit so richtig raffiniert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
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> das find' ich in seiner Einfachheit so richtig raffiniert.
>
> Gruß v. Angela
Moin, moin
Danke
Gruß FRED
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