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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Janaix |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})=0
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n^{2}+n}-n)=\bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo!
Bei der a) habe ich versucht [mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] mit Hilfe von Bin.Formeln umzuformen. Bin auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}\wurzel{n}} [/mm] gekommen, weiß jetzt nicht, was ich weiter machen soll.
Würde mich über jede Hilfe freuen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 22.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
die Idee mit der binomischen Formel ist schon mal gut.
> Bei der a) habe ich versucht [mm](\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm] mit
> Hilfe von Bin.Formeln umzuformen. Bin auf
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}\wurzel{n}}[/mm] gekommen, weiß jetzt
> nicht, was ich weiter machen soll.
Du meinst doch bestimmt [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}\red{+}\wurzel{n}}
[/mm]
Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}=...=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+1}\red{+}\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n}+\wurzel{n}={2\wurzel{n}}\ge\wurzel{n}
[/mm]
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}\underbrace{\to}_{\text{für } n\to{\infty}}\infty
[/mm]
Also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n+1}\red{+}\wurzel{n}\underbrace{\to}_{\text{für } n\to{\infty}}\infty.
[/mm]
und d.h. doch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+1}\red{+}\wurzel{n}}\underbrace{\to}_{\text{für } n\to{\infty}}{0}.
[/mm]
Bei der b) würde ich auch den Ansatz mit der binomischen Formel verwenden.
Viel Erfolg.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Janaix |
Vielen Dank für Ihre Antwort! ahaa, jetzt ist etwas klar geworden. Allerdings ist mir dieser Schritt doch nicht so ganz klar:
> [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n}+\wurzel{n}={2\wurzel{n}}\ge\wurzel{n}[/mm]
Warum ausgerechnet [mm] \wurzel{n}+\wurzel{n}?
[/mm]
b) habe ich jetzt versucht nach dem gleichen Prinzip zu lösen, bei mir kommt nach der Umformung [mm] \bruch{1}{(\wurzel{n^2+n})} [/mm] raus. Stimmt das?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Janaix!
> [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}\ge\wurzel{n}+\wurzel{n}={2\wurzel{n}}\ge\wurzel{n}[/mm]
> Warum ausgerechnet [mm]\wurzel{n}+\wurzel{n}?[/mm]
Weil sich diese beiden Wurzel nun zusammenfassen lassen (was vorher nicht ging).
> b) habe ich jetzt versucht nach dem gleichen Prinzip zu
> lösen, bei mir kommt nach der Umformung
> [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n^2+n})}[/mm] raus. Stimmt das?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo ist denn das der 2. Teil der Summe im Nenner verblieben?
[mm] $$\bruch{n^2+n-n^2}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2+n}+n}$$
[/mm]
Nun im Nenner $n_$ ausklammern und kürzen.
Gruß
Loddar
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