Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Fr 29.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
was kommt denn hier raus? 
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-2)^n}{2^n}
[/mm]
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Fr 29.08.2008 | | Autor: | pelzig |
Es ist [mm] $\bruch{(-2)^n}{2^n}=(-1)^n$, [/mm] diese Folge hat die beiden Häufungspunkte $-1$ und $1$, d.h. sie divergiert (unbestimmt).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 29.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
aber natürlich ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Danke.
Ich habe das jetzt total aus dem eigentliche Kontext gerissen...
Ich will die Frage also noch mal detaillierter Stellen 
Es ist der Konvergenzradius der folgenden Reihe zu ermitteln:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}z^n
[/mm]
Spontan fällt mir das Quotientenkriterium ein:
[mm] \vmat{ \bruch{a_k}{a_{k+1}} }=|\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}*\bruch{2*({n+1})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}*\bruch{2n*({1+\bruch{1}{n}})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{2^n+(-2)^n}{1}*\bruch{({1+\bruch{1}{n}})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{\bruch{2^n}{2^{n+1}}+\bruch{(-2)^n}{2^{n+1}}+\bruch{{2^n}}{n*2^{n+1}}+\bruch{(-2)^n}{n*2^{n+1}}}{\bruch{2^{n+1}}{2^{n+1}}+\bruch{(-2)^{n+1}}{2^{n+1}}}|
[/mm]
Sorry, dass es so klein ist.
Kann ich jetzt, wenn ich den Konvergenzradius berechne, eigentlich abschätzen? Weil das
> Es ist [mm]\bruch{(-2)^n}{2^n}=(-1)^n[/mm], diese Folge hat die
> beiden Häufungspunkte [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm], d.h. sie divergiert
> (unbestimmt)
nützt mir ja in diesem Zusammenhang nichts, oder?
Wenn ich abschätzen dürfte, würde ich wie folgt weiterrechnen:
[mm] =|\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}+\bruch{{1}}{2n}+\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}}{1+\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}}|
[/mm]
Dann ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}+\bruch{{1}}{2n}+\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}}{1+\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}}|
[/mm]
[mm] \le\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\bruch{1}{2}+|\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}|+\bruch{{1}}{2n}+|\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}|}{1+|\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}|}
}
[/mm]
[mm] ={\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}}{1+1}}=\bruch{1}{4}*\bruch{1}{2}.
[/mm]
Ist das so korrekt?
Ich dachte, eigentlich sei es bei Konvergenzradien nicht nötig (zulässig), abzuschätzen.
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hi,
>
> aber natürlich Danke.
>
> Ich habe das jetzt total aus dem eigentliche Kontext
> gerissen...
>
> Ich will die Frage also noch mal detaillierter Stellen
>
> Es ist der Konvergenzradius der folgenden Reihe zu
> ermitteln:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}z^n[/mm]
>
> Spontan fällt mir das Quotientenkriterium ein:
>
> [mm]\vmat{ \bruch{a_k}{a_{k+1}} }=|\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}*\bruch{2*({n+1})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Denn für gerades $n$ hast Du hier eine Division durch $0$.
> [mm]=|\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}*\bruch{2n*({1+\bruch{1}{n}})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{2^n+(-2)^n}{1}*\bruch{({1+\bruch{1}{n}})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{\bruch{2^n}{2^{n+1}}+\bruch{(-2)^n}{2^{n+1}}+\bruch{{2^n}}{n*2^{n+1}}+\bruch{(-2)^n}{n*2^{n+1}}}{\bruch{2^{n+1}}{2^{n+1}}+\bruch{(-2)^{n+1}}{2^{n+1}}}|[/mm]
>
> Sorry, dass es so klein ist.
>
> Kann ich jetzt, wenn ich den Konvergenzradius berechne,
> eigentlich abschätzen? Weil das
>
> > Es ist [mm]\bruch{(-2)^n}{2^n}=(-1)^n[/mm], diese Folge hat die
> > beiden Häufungspunkte [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm], d.h. sie divergiert
> > (unbestimmt)
>
> nützt mir ja in diesem Zusammenhang nichts, oder?
>
> Wenn ich abschätzen dürfte, würde ich wie folgt
> weiterrechnen:
>
>
> [mm]=|\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}+\bruch{{1}}{2n}+\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}}{1+\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}}|[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}+\bruch{{1}}{2n}+\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}}{1+\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}}|[/mm]
>
> [mm]\le\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\bruch{1}{2}+|\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}|+\bruch{{1}}{2n}+|\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}|}{1+|\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}|}
}[/mm]
>
> [mm]={\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}}{1+1}}=\bruch{1}{4}*\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
>
> Ich dachte, eigentlich sei es bei Konvergenzradien nicht
> nötig (zulässig), abzuschätzen.
Richtig, denn Du willst ja den Konvergenzradius und nicht eine blosse Abschätzung.
Besser (und richtiger) geht's so:
[mm]\frac{1}{R}=\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n+(-2)^n}{2n}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{2\cdot 2^n}{2n}}=2[/mm]
Also ist der Konvergenzradius $R=1/2$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Fr 29.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> aber natürlich Danke.
>
> Ich habe das jetzt total aus dem eigentliche Kontext
> gerissen...
>
> Ich will die Frage also noch mal detaillierter Stellen
>
> Es ist der Konvergenzradius der folgenden Reihe zu
> ermitteln:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}z^n[/mm]
Hallo, jeder zweite Summand (bei ungeradem n) ist Null, ansonsten hat jeder "gerade" Summand die Form
[mm] \bruch{2*2^n}{2n}*z^n=\bruch{(2z)^n}{n}
[/mm]
Da nur jeder zweite Summand vorkommt, kannst du die Summe mit der Substitution k=n/2 so schreiben:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(2z)^{2k}}{2k}[/mm]
Gruß Abakus
>
> Spontan fällt mir das Quotientenkriterium ein:
>
> [mm]\vmat{ \bruch{a_k}{a_{k+1}} }=|\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}*\bruch{2*({n+1})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}*\bruch{2n*({1+\bruch{1}{n}})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{2^n+(-2)^n}{1}*\bruch{({1+\bruch{1}{n}})}{2^{n+1}+(-2)^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{\bruch{2^n}{2^{n+1}}+\bruch{(-2)^n}{2^{n+1}}+\bruch{{2^n}}{n*2^{n+1}}+\bruch{(-2)^n}{n*2^{n+1}}}{\bruch{2^{n+1}}{2^{n+1}}+\bruch{(-2)^{n+1}}{2^{n+1}}}|[/mm]
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> Sorry, dass es so klein ist.
>
> Kann ich jetzt, wenn ich den Konvergenzradius berechne,
> eigentlich abschätzen? Weil das
>
> > Es ist [mm]\bruch{(-2)^n}{2^n}=(-1)^n[/mm], diese Folge hat die
> > beiden Häufungspunkte [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm], d.h. sie divergiert
> > (unbestimmt)
>
> nützt mir ja in diesem Zusammenhang nichts, oder?
>
> Wenn ich abschätzen dürfte, würde ich wie folgt
> weiterrechnen:
>
>
> [mm]=|\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}+\bruch{{1}}{2n}+\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}}{1+\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}}|[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}+\bruch{{1}}{2n}+\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}}{1+\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}}|[/mm]
>
> [mm]\le\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\bruch{1}{2}+|\bruch{(-2)^n}{2^{n}*2}|+\bruch{{1}}{2n}+|\bruch{(-2)^n}{2*n*2^{n}}|}{1+|\bruch{(-1)*(-2)^{n}}{2^{n}}|}
}[/mm]
>
> [mm]={\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}}{1+1}}=\bruch{1}{4}*\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
>
> Ich dachte, eigentlich sei es bei Konvergenzradien nicht
> nötig (zulässig), abzuschätzen.
>
> MfG barsch
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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