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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Do 08.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
ich soll Folgendes zeigen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1
[/mm]
Folgendes habe ich nun versucht:
[mm] |\wurzel[n]{n}-1|=n^{ \bruch{1}{n}}-1| [/mm] aber ich komme einfach nicht weiter. Der binomische Lehrsatz soll mir helfen, aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich den anwenden soll.
Danke für eure Hilfe.
Sinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Fr 09.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo sinus
sieh hier nach :
hier
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Fr 09.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Hier der Lösungsweg:
Zeige zuerst dass $ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] > 1 [mm] \forall [/mm] n $.
Dann fällt der Betrag weg und du willst zeigen dass $ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] - 1 < [mm] \varepsilon [/mm] $ ab einem großen n, also setzen wir doch mal gleich und sehen: $ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = 1 + [mm] \varepsilon \gdw [/mm] n = [mm] (1+\varepsilon)^n \ge [/mm] 1 + [mm] n\varepsilon [/mm] $ (Bernoulli)
Jetzt lässt sich doch leicht zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein N finden so dass für alle n > N der Term $ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] - 1 < [mm] \varepsilon [/mm] $ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Leduart und R4ph43I,
ich danke euch für eure Hilfe. Mit deinem url (Leduart) konnte ich leider nicht viel anfangen.
Wie soll ich denn zuerst zeigen, dass
[mm] \wurzel[n]{n}>1 [/mm] für alle n ist
und wieso setzt du dann [mm] \wurzel[n]{n}=1+ \varepsilon [/mm] Ich habe doch eine Ungleichung mit [mm] |\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon
[/mm]
Ich verstehe das leider nicht.
Grüße, Sinus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sinus!
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\sqrt[n]{n}-1 \ge \sqrt[n]{1}-1 [/mm] = 1-1 = 0$.
Es genügt also zu beweisen, dass es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N_0(\varepsilon)>0$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \ge N_0$ [/mm] gilt:
[mm] $\sqrt[n]{n} [/mm] - 1 < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun gilt aber für alle [mm] $n\ge N_0(\varepsilon):=\left[ \frac{2}{\varepsilon^2} + 1\right]+1 \ge \frac{2}{\varepsilon^2} [/mm] +1$:
$(1+ [mm] \varepsilon)^n [/mm] > 1+ [mm] n\varepsilon [/mm] + [mm] \frac{n(n-1)}{2} \varepsilon^2 [/mm] > [mm] \frac{n(n-1)}{2} \cdot \varepsilon^2 [/mm] > n$,
also:
$n < (1 + [mm] \varepsilon)^n$.
[/mm]
Daraus folgt nach Umformung:
[mm] $\sqrt[n]{n} [/mm] - 1 < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Dies ist genau der Beweis, den leduart im anderen Post (mehr als) angedeutet hatte.
Liebe Grüße
Julius
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