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Lim x->unendlich beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Mi 08.06.2011
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Reicht es für die Aussage [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = a$ zu zeigen, dass die Aussage [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n) [/mm] = a$ für alle monoton wachsenden Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] wahr ist?


Hallo!

Ich frage mich gerade, ob die Aufgabe mit "ja" beantwortet werden kann.
Wenn man eine beliebige Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] $x_n \to \infty$ [/mm] auswählt, gibt es ja monotone Teilfolgen davon....

Könnt ihr mir helfen :-) ?

Grüße,
Stefan

        
Bezug
Lim x->unendlich beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Do 09.06.2011
Autor: Diophant

Hallo Stefan,

das wichtige ist eben: auch so eine Teilfolge muss gegen unendlich streben, die Forderung nach Monotonie ist dafür zu schwach.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lim x->unendlich beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Do 09.06.2011
Autor: steppenhahn

Hallo Diophant,

danke für deine Antwort.
Ich meine ja auch alle monoton wachsenden Teilfolgen, die gegen unendlich streben.

D.h. ich möchte aus der Gültigkeit von [mm] $\lim_{n\to\infty}f(n) [/mm] = a, [mm] \lim_{n\to\infty}f(n^2) [/mm] = a$ usw. (alle anderen monoton wachsenden Folgen gegen unendlich) die Gültigkeit von [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = a folgern.

Grüße,
Stefan



Bezug
                        
Bezug
Lim x->unendlich beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Do 09.06.2011
Autor: fred97


> Hallo Diophant,
>  
> danke für deine Antwort.
>  Ich meine ja auch alle monoton wachsenden Teilfolgen, die
> gegen unendlich streben.
>  
> D.h. ich möchte aus der Gültigkeit von
> [mm]\lim_{n\to\infty}f(n) = a, \lim_{n\to\infty}f(n^2) = a[/mm] usw.
> (alle anderen monoton wachsenden Folgen gegen unendlich)
> die Gültigkeit von [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)[/mm] = a folgern.
>  
> Grüße,
>  Stefan
>  
>  

$ [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] $ = a bedeutet doch:

  zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein c>0 mit  : $|f(x)-a|< [mm] \varepsilon$ [/mm]  für jedes x>c.

Nun nimm mal an, die sei nicht so. Dann gibt es ein  [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit folgender Eigenschaft:

         zu jedem c>0 gibt es ein [mm] x_c>c [/mm] mit $|f(x)-a| [mm] \ge \varepsilon$ [/mm]

Zu c:=1 gibt es also ein [mm] x_1>1 [/mm] mit: [mm] $|f(x_1)-a| \ge \varepsilon$ [/mm]

Zu [mm] c:=x_1 [/mm] gibt es ein [mm] x_2>x_1 [/mm] mit: [mm] $|f(x_2)-a| \ge \varepsilon$ [/mm]

Zu [mm] c:=x_2 [/mm] gibt es ein [mm] x_3>x_2 [/mm] mit: [mm] $|f(x_3)-a| \ge \varepsilon$ [/mm]

etc....

So erhältst Du eine wachsende Folge [mm] (x_n) [/mm] mit: [mm] $|f(x_n)-a| \ge \varepsilon$ [/mm] für jedes n.


Hilft das ?

FRED




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Lim x->unendlich beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Mo 13.06.2011
Autor: steppenhahn

Hallo Fred,

danke für deine Antwort!
Also reicht es mit den monotonen Folgen, das ist gut für meinen Beweis :-)

Grüße,
Stefan

Bezug
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