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Likelihood-Schätzer Varianz?: Frage zu einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Mi 05.12.2007
Autor: Livia

Aufgabe
Eine entstehende Messreihe soll als Realisierung von unabhängigen identisch N(1,θ)-verteilten Zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n [/mm] mit unbekannter Varianz θ>0 aufgefasst werden. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer von [mm] T_n [/mm] für [mm]\gamma[/mm](θ) = θ.

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich bei dieser Frage den ML-Schätzer von der Messreihe oder der Varianz ausrechnen soll. Ich habe es mal mit der Varianz versucht.

Meine Ausgangsformel

[mm]L(theta,x_1,...,x_n)=\wurzel{\pi\delta^2}^{-1}exp(\bruch{-(x_1-\mu)^2}{2\delta^2})*...*exp(\bruch{-(x_n-\mu)^2}{2\delta^2})[/mm]

Zusammengefasst

[mm]L(theta,x_1,...,x_n)=(\bruch{1}{\wurzel{\pi\delta^2}})^n \exp(\bruch{\summe_{i=1}^{n} x_i^2-2\summe_{i=1}^{n} x_i\mu+2n\mu^2}{2\delta^2})[/mm]

ln gesetzt

[mm]\ln L(theta,x_1,...,x_n)= -n\ln\wurzel{2\pi\delta}^2 \bruch{\summe_{i=1}^{n} x_i^2-2\summe_{i=1}^{n} x_i\mu+2n\mu^2}{2\delta^2}[/mm]

Abgeleitet
[mm]\ln L'(theta,x_1,...,x_n)=\bruch{n\summe_{i=1}^{n} x_i^2-2n\summe_{i=1}^{n} x_i\mu+n\mu^2}{(\wurzel{\pi2}\delta)^{2,5}}[/mm]

Null gesetzt
[mm]\summe_{i=1}^{n} x_i=1[/mm]

Ja, also keine Ahnung. Kann mit dem Ergebnis nichts anfangen. Hat jemand eine Idee, wo der oder die Fehler liegen? Vielen Dank!

        
Bezug
Likelihood-Schätzer Varianz?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Mi 05.12.2007
Autor: luis52

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Moin Livia,

zuenachst [willkommenmr]

Schreib dir zunaechst einmal die Dichte auf, wie sie in der
Aufgabenstellung gegeben ist:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}\exp[-\frac{1}{2\theta}(x-1)^2]$

Man erhaelt so

$L(\theta,x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\right)^n\theta^{-n/2}\exp[-\frac{1}{2\theta}\sum(x_i-1)^2]$

$\ln L(\theta,x_1,...,x_n)=\alpha-(n/2)\ln\theta-\frac{1}{2\theta}\sum(x_i-1)^2$

$\partial \ln L(\theta,x_1,...,x_n)/\partial\theta=-\frac{n}{2\theta}-\frac{1}{2\theta^2}\sum(x_i-1)^2$

usw.

lg
Luis              

Bezug
                
Bezug
Likelihood-Schätzer Varianz?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Sa 08.12.2007
Autor: Livia

Hallo,

ich hätte noch ein paar Fragen zu dieser Rechnung.

-[mm]\partial \ln L(\theta,x_1,...,x_n)/\partial\theta[/mm] Bedeutet das lediglich das nach [mm]\theta[/mm] abgeleitet wurde? Kenn mich mit partieller Differenzierung nicht so, sry.

-Die Ableitung von [mm]-\frac{1}{2\theta}[/mm] ergibt bei mir [mm]\frac{1}{2\theta^2}[/mm].

Wenn ich dann alles gleich 0 Setze kommt bei mir folgendes heraus:

[mm]\hat\theta=-\frac{\summe_{i=1}^{n}(x_i-1)^2}{n}[/mm]

Ist das nun der ML Schäzter Tn für [mm]t(\theta)=\theta[/mm] ? Hab leider die Aufgaben nicht so genau verstanden, welches Maximum nun genau gesucht wird...

Vielen Dank!
lg Livia

Bezug
                        
Bezug
Likelihood-Schätzer Varianz?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Sa 08.12.2007
Autor: luis52


> Hallo,
>  
> ich hätte noch ein paar Fragen zu dieser Rechnung.
>  
> -[mm]\partial \ln L(\theta,x_1,...,x_n)/\partial\theta[/mm] Bedeutet
> das lediglich das nach [mm]\theta[/mm] abgeleitet wurde?

Genau.

> -Die Ableitung von [mm]-\frac{1}{2\theta}[/mm] ergibt bei mir
> [mm]\frac{1}{2\theta^2}[/mm].

Upps, bei mir auch.

>  
> Wenn ich dann alles gleich 0 Setze kommt bei mir folgendes
> heraus:
>  
> [mm]\hat\theta=-\frac{\summe_{i=1}^{n}(x_i-1)^2}{n}[/mm]

[ok]

>  
> Ist das nun der ML Schäzter Tn für [mm]t(\theta)=\theta[/mm] ?

[ok]

lg Luis




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Likelihood-Schätzer Varianz?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:10 Sa 08.12.2007
Autor: Livia

Nun hab ich es verstanden :)

Bei der Ergebnis Formel kommt dann wohl noch das Minus weg (an die suizidgefährdeten Soziologen die mitlesen :) ).

Danke für die Hilfe.

lg
Livia

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