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| Aufgabe | Seien $a,b [mm] \in [/mm] g$ Ideale einer (reellen) Lie Algebra $g$, beweisen Sie den Isomorphiesatz:
[mm] $\bruch{a+b}{b} \cong \bruch{a}{a\capb} [/mm] $ |
Hallo,
dass a und b Idale sind, heißt dass sie UVR von g sind, und die Produkte unter der Lie Klammer von g wieder in a bzw. b liegen. Nur wie zeige ich diese Isomorphie? Ich muss doch sicher einen Isomorphismus basteln und nachweisen, dass er:
1) ein Hom. ist (also vertauscht mit der Lie Klammer)
2) surjektiv
3) injektiv
kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 23.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien [mm]a,b \in g[/mm] Ideale
Element oder Teilmenge?
> einer (reellen) Lie Algebra [mm]g[/mm],
> beweisen Sie den Isomorphiesatz:
>
> [mm]\bruch{a+b}{b} \cong \bruch{a}{a\cap b}[/mm]
>
> Hallo,
>
> dass a und b Idale sind, heißt dass sie UVR von g sind, und
> die Produkte unter der Lie Klammer von g wieder in a bzw. b
> liegen.
Genau.
> Nur wie zeige ich diese Isomorphie? Ich muss doch
> sicher einen Isomorphismus basteln und nachweisen, dass
> er:
> 1) ein Hom. ist (also vertauscht mit der Lie Klammer)
> 2) surjektiv
> 3) injektiv
> kann mir jemand weiterhelfen?
Nun, einmal hast du ja den Isomorphiesatz fuer Vektorraeume. Er liefert dir einen Isomorphismus von Vektorraeumen fuer [mm]\bruch{a}{a\cap b} \cong \bruch{a+b}{b}[/mm], gegeben durch $x + (a [mm] \cap [/mm] b) [mm] \mapsto [/mm] x + b$. Du musst zeigen, dass dies ebenfalls ein Homomorphismus von Lie-Algebren ist, daraus folgt dann dass es ein Isomorphismus von Lie-Algebren ist.
LG Felix
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