Lie-Gruppen, Beschleunigung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine Festkörperbewegung lässt sich durch eine Matrix A(t) [mm] \in [/mm] SE(3) beschreiben. Wie bestimmt man die Geschwindigkeit und die Beschleunigung dieser Bewegung? |
Guten Abend!
Ich weiß, dass ich die Matrix A(t) schreiben kann, als [mm] A(t)=\pmat{ R & d \\ 0 & 1 } \in \IR^{4\times 4} [/mm] mit Rotation R und Translation d.
SE(3) ist eine Lie-Gruppe. Die zugehörige Lie-Algebra se(3) beschreibt den Tangetialraum von SE(3), also sind die Elemente von se(3) die Geschwindigkeiten von SE(3). Ist das richtig?
Also hier wäre [mm] \pmat{R^T R'& R^T d' \\ 0 & 0} [/mm] die Tangente an A. Dann beschreibt [mm] R^{T}R' [/mm] die Winkelgeschwindigkeit und [mm] R^{T}d' [/mm] die lineare Geschwindigkeit (wobei ich nicht ganz weiß, was das bedeutet).
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit. Das deckt sich mit dem, was oben steht. Allerdings bildet die Exponentialabbildung ebenfalls Elemente von SE(3) nach se(3) ab, also müsste die Geschwindigkeit von A sowohl [mm] \bruch{dA}{dt} [/mm] als auch exp(A) sein. Wie soll das denn gehen?
Und meine zweite Frage ist, wie erhalte ich die Beschleunigung B? Eigentlich hätte ich nochmal nach t abgelitten. Angeblich kommt da [mm] \bruch{D}{dt}(\bruch{dA}{dt})=grad_{V}(V) [/mm] raus aber wie rechne ich [mm] grad_{V}(V) [/mm] aus?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
nur eine kleine Bemerkung am Rande:
> Und meine zweite Frage ist, wie erhalte ich die
> Beschleunigung B? Eigentlich hätte ich nochmal nach t
> abgelitten. Angeblich kommt da
Es heißt "abgeleitet" 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Di 26.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine Festkörperbewegung lässt sich durch eine Matrix A(t)
> [mm]\in[/mm] SE(3) beschreiben. Wie bestimmt man die Geschwindigkeit
> und die Beschleunigung dieser Bewegung?
> Guten Abend!
>
> Ich weiß, dass ich die Matrix A(t) schreiben kann, als
> [mm]A(t)=\pmat{ R & d \\ 0 & 1 } \in \IR^{4\times 4}[/mm] mit
> Rotation R und Translation d.
> SE(3) ist eine Lie-Gruppe. Die zugehörige Lie-Algebra
> se(3) beschreibt den Tangetialraum von SE(3), also sind die
> Elemente von se(3) die Geschwindigkeiten von SE(3). Ist das
> richtig?
> Also hier wäre [mm]\pmat{R^T R'& R^T d' \\ 0 & 0}[/mm] die
> Tangente an A. Dann beschreibt [mm]R^{T}R'[/mm] die
> Winkelgeschwindigkeit und [mm]R^{T}d'[/mm] die lineare
> Geschwindigkeit (wobei ich nicht ganz weiß, was das
> bedeutet).
>
> Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Die Geschwindigkeit ist
> die Ableitung des Weges nach der Zeit. Das deckt sich mit
> dem, was oben steht. Allerdings bildet die
> Exponentialabbildung ebenfalls Elemente von SE(3) nach
> se(3) ab,
Umgekehrt: von se(3) nach SE(3).
> also müsste die Geschwindigkeit von A sowohl
> [mm]\bruch{dA}{dt}[/mm] als auch exp(A) sein. Wie soll das denn
> gehen?
Nein, die Exponentialabbildung bildet eine Umgebung von [mm]\bruch{dA}{dt}[/mm] in eine Umgebung von $A(t)$ ab.
> Und meine zweite Frage ist, wie erhalte ich die
> Beschleunigung B? Eigentlich hätte ich nochmal nach t
> abgelitten.
Ja, ich auch.
> Angeblich kommt da
> [mm]\bruch{D}{dt}(\bruch{dA}{dt})=grad_{V}(V)[/mm] raus aber wie
> rechne ich [mm]grad_{V}(V)[/mm] aus?
Was ist denn V?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort.
> > Angeblich kommt da
> > [mm]\bruch{D}{dt}(\bruch{dA}{dt})=grad_{V}(V)[/mm] raus aber wie
> > rechne ich [mm]grad_{V}(V)[/mm] aus?
>
> Was ist denn V?
[mm]V=\bruch{dA}{dt}[/mm] also die Geschwindigkeit.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mi 27.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> danke für deine Antwort.
>
> > > Angeblich kommt da
> > > [mm]\bruch{D}{dt}(\bruch{dA}{dt})=grad_{V}(V)[/mm] raus aber wie
> > > rechne ich [mm]grad_{V}(V)[/mm] aus?
> >
> > Was ist denn V?
> [mm]V=\bruch{dA}{dt}[/mm] also die Geschwindigkeit.
Ich vermute, mit [mm] $\mathrm{grad}_V(V)$ [/mm] ist die Richtungsableitung von V in Richtung von V gemeint, also [mm] $(DV)\cdot [/mm] V$ (zu berechnen im Tangentialraum an den Punkt $A(t)$). Ich weiss aber im Moment nicht, wie du die Behauptung zeigen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 02.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Dath |
Die Exponentialabbildung bildet ganz sicher nicht die Lie-Gruppe in die Lie-Algebra ab! Weiterhin: Der Tangentialraum an jedem Punkt ist (aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation in Lie-Gruppen (glatt)) diffeomorph zur Lie-Algebra.
Nun zur Frage: Du berechnest zuerst die Geschwindigkeit am Ursprung, besser gesagt an [mm]e \element G[/mm]. Aus der allgemeinen Theorie der Lie-Gruppen ist bekannt, dass die Lie-Algebra genau die Links-Invarianten-Vektorfelder beinhaltet (auf [mm]G[/mm]).
Folglich ist
[mm]V_{a}=dL_{a}\circ V_0[/mm].
Jetzt bietet es sich an, die Lie-Algebra zu berechnen.
Zur Beschleunigung.
Du weißt bereits, dass die Matrizen in der Gruppe nur von der Zeit [mm]t[/mm] abhängen. Deswegen vereinfacht sich das alles stark und du musst nicht mehr, wie normalerweise in der Diff.-Geo., nach der Koordinaten ableiten, sondern kannst das dirket nach der Zeit machen. Du musst jetzt allerdings beachten, dass du nicht "herkömmlich" nach der Zeit ableiten darfst, weil nun das tangentialbündel einer Lie-Gruppe betrachtest. Das große [mm]D[/mm] steht da also zu recht, weil es die kovariante Ableitung in [mm]t[/mm]-Richtung anzeigt.
Die rechte Seite der Gleichung ist bestimmt durch:
[mm]grad_{V}(V) = DV \circ V[/mm], was eine einfache Folge aus der Kettenregel ist, die du auch auf Mfg. (insbes. Lie-Gruppen) anwenden kannst. Das [mm]V[/mm] auf der rechten Seite kommt übrigens daher, dass du [mm]V[/mm] wie allgemein üblich bei vektorfeldern auf einer Mfg. über das ODE-System: [mm]dA(t)/dt=V(A(t))[/mm]. Wie gesagt, wende mal bei dieser Gleichung nochmal Ableitung nach t an, berücksichtige, dass du nun im Tangentialbündel von [mm]G[/mm]operierst (=> großes D), und beachte, dass die rechte Seite der Definitionsgleichung für [mm]V[/mm] eine verkettete Funktion ist.
Mods können bei Bedarf die Frage auf gelöst setzen.
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Erstmal danke für die Antworten. Ich habe aber noch zwei wietere Fragen:
1.
Wenn man aus einem Vektor für die Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] die Rotationsmatrix haben möchte, dann muss man doch als erstes die zugehörige schiefsymmetrische Matrix [mm] W=[\omega]_x [/mm] aufstellen und erhält dann die Rotationsmatrix durch R=exp(W). Also bildet hier doch die Exponentialabbildung die Lie-Algebra in die Lie Gruppe ab!?!
2.
Wenn ich jetzt eine konstante Winkelbeschleunigung [mm] \omega_a [/mm] habe, kann ich durch integrieren die Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] ausrechnen durch
[mm] \omega [/mm] = [mm] \omega_a*t_d [/mm] + [mm] \omega_0 [/mm]
dabei ist [mm] t_d [/mm] die Zeitdifferenz, für die die Beschleunigung so konstant ist.
Wie erhalte ich nur jetzt die Rotationsmatrix [mm] R=exp([\omega_x])?
[/mm]
Mit der Rodrigues-Formel komme ich hier zum Beispiel nicht weiter, weil [mm] t_d [/mm] variabel ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Dath |
1. Die Exponentialabbildung bildet eigentlich immer die Lie-Algebra in eine Umgebung des Identitätselementes der Lie-Gruppe ab... Ansonsten ja: Zugehörige Matrix (schiefsymmetrisch) aufstellen.
2. Warum solltest du mit der Rodrigues-Formel nicht weiterkommen?
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Ich glaube ich habe die Thematik jetzt größtenteils verstanden. Aber ich habe noch eine Frage, wie rechne ich Eulerwinkel pitch, roll und yaw in kartesische Koordinaten um, wenn ich die Länge des Vektors |v| kenne.
Also genauer, sind die Eulerwinkel
pitch
roll
yaw
und die Länge eines Vektors |v| gegeben. Wie rechne ich die drei Komponenten (x,y,z) von v aus?
Ich habe mir überlegt, dass die yaw und pitch den Winkel von Kugelkoordinaten entsprechen müssten und |v| dem Radius. Das lässt sich dann sehr einfach in kartesische Koord. umrechnen. ABer das haut leider nicht hin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 01.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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