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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | [mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{nmk}=\delta_{in}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jn} [/mm] |
Hallo zusammen,
meine Kommilitonen und ich sitzen schon seit einigen Stunden zusammen und beißen uns die Zähne an dieser Aufgabe aus und ich hoffe ihr könnt helfen.
Die Aufgabe lautet:
Beweisen Sie unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention, dass (siehe Aufgabe).
Über die Determinanten könnten wir die Aufgabenstellung lösen, aber der liebe Herr Einstein macht es uns dann doch etwas schwieriger.
Danke schonmal im Vorraus!
lg Skyrula
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi skyrula,
das ist wirklich eine Hammeraufgabe, falls ihr das komplett ohne Determinante berechnen sollt. Das wäre eine endlose Rechnung, die eigentlich nicht (!) im Sinne des Erfinders sein sollte.
Ich denke die Aufgabe sollte vielleicht auch so gelöst werden:
Wir summieren erst einmal über k und nutzen dann die Determinanten:
[mm] \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=\epsilon_{ij1}\epsilon_{lm1}+\epsilon_{ij2}\epsilon_{lm2}+\epsilon_{ij3}\epsilon_{lm3}
[/mm]
Jetzt wird die Darstellung als Determinante gewählt und die einzelnen Summanden werden ausgewertet.
Ich nehme an, ihr habt bei euch in der Gruppe einfach die Determinante von dem [mm] \epsilon_{ijk} [/mm] sowie [mm] \epsilon_{lmk} [/mm] genommen und dann miteinander multipliziert. Genau diesen Weg solltet ihr wohl nicht gehen.
Liebe Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 04.05.2014 | | Autor: | Skyrula |
Hey Richie1401, erstmal vielen Dank für deine wiederholte Hilfe!
Dein Weg, den du gehen würdest sieht auf jeden Fall schon mal gut aus!
Würdest du mir den Gefallen tun und mir den nächsten Schritt einmal zeigen wie genau die Determinanten dann aufgeschrieben werden? Ich wäre dir sehr dankbar!
MfG
Skyrula
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Hi Paul,
> Hey Richie1401, erstmal vielen Dank für deine wiederholte
> Hilfe!
Immer doch!
> Dein Weg, den du gehen würdest sieht auf jeden Fall schon
> mal gut aus!
Tja, ob das nun auch so gewollt ist, oder nicht? Keine Ahnung! Es erscheint mir logisch so vorzugehen. Aber ob es im Sinne des Aufgabenerstellers ist, keine Ahnung!
Von daher nur der Hinweis: Genieße die Antwort eventuell mit einer gewissen Vorsicht.
>
> Würdest du mir den Gefallen tun und mir den nächsten
> Schritt einmal zeigen wie genau die Determinanten dann
> aufgeschrieben werden? Ich wäre dir sehr dankbar!
Klar, also wir nutzen gleich den Sachverhalt, dass gilt
[mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|
[/mm]
Wir werten nun einzeln [mm] \varepsilon_{ij1}\varepsilon_{nm1}, \varepsilon_{ij2}\varepsilon_{nm2} [/mm] und [mm] \varepsilon_{ij3}\varepsilon_{nm3} [/mm] aus.
[mm] \varepsilon_{ij1}\varepsilon_{nm1}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{in} & \delta_{im} & \delta_{i1}\\ \delta_{jn} & \delta_{jm} & \delta_{j1}\\ \delta_{1n} & \delta_{1m} & \delta_{11}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{in} & \delta_{im} & \delta_{i1}\\ \delta_{jn} & \delta_{jm} & \delta_{j1}\\ \delta_{1n} & \delta_{1m} & 1\end{array}\right|=\delta_{in}\delta_{jm}+\delta_{im}\delta_{j1}\delta_{1n}+\delta_{i1}\delta_{jn}\delta_{1m}-\delta_{1n}\delta_{jm}\delta_{i1}-\delta_{1m}\delta_{j1}\delta_{in}
[/mm]
Macht man das nun für die anderen Komponenten ebenfalls, so merkt man, dass sich jeweils Terme wegheben.
Ich merke aber gerade selbst, dass selbst das langatmig ist.
Kürzer geht es sofort, indem man zunächst allgemein die Determinante für [mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} [/mm] berechnet, und dann k=n setzt. Habt ihr das so gemacht? Du hast ja geschrieben, dass ihr bereits einen Beweis mittels Determinanten gemacht habt. Mich wundert eben nur diese Aussage: Nutzen Sie die Einsteinsche Summenkonvention.
Für die zweite Idee der Lösung würde ja folgen:
[mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|=\delta_{il} \delta_{jm} \delta_{kn} [/mm] + [mm] \delta_{im} \delta_{jn} \delta_{kl}+\delta_{in} \delta_{jl} \delta_{km}-\delta_{im} \delta_{jl} \delta_{kn} [/mm] - [mm] \delta_{il} \delta_{jn} \delta_{km}-\delta_{in} \delta_{jm} \delta_{kl}
[/mm]
Nun k=n:
[mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kk}+\delta_{im}\delta_{jk}\delta_{kl}+\delta_{ik}\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kk}-\delta_{il}\delta_{jk}\delta_{km}-\delta_{ik}\delta_{jm}\delta_{kl}
[/mm]
[mm] =3\delta_{il}\delta_{jm}+\delta_{im}\delta_{jl}+\delta_{im}\delta_{jl}-3\delta_{im}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{il}\delta_{jm}
[/mm]
[mm] =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}
[/mm]
Also genau die Behauptung.
Was haben wir benutzt? Zum einen, dass [mm] \delta_{kk}=3, [/mm] ich denke dass das klar ist.
Weiter wurde benutzt, dass
[mm] \delta_{kl}\delta_{km}=\delta_{lm}
[/mm]
ist. Ist dir das soweit klar?
Zu summieren ist über k, also haben wir:
[mm] \delta_{1l}\delta_{1m}+\delta_{2l}\delta_{2m}+\delta_{3l}\delta_{3m}
[/mm]
Jetzt kann man mit Fallunterscheidungen weiterarbeiten.
Puhhhh - ich hoffe ich habe mich hier nicht [mm] "ver\delta't".
[/mm]
Ziemlich wild in latex, ich hoffe es stimmt soweit.
>
> MfG
>
> Skyrula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 So 04.05.2014 | | Autor: | Skyrula |
Tausend Dank für die Arbeit die du für mich machst!!!
Ich glaube das die Variante mit k=n der gesuchte Weg ist!!!
Mit der Determinanten-Schreibweise neben der k=n Schreibweise ist mir das jetzt zum erste mal klar geworden!!
Danke nochmal
MfG Skyrula
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