Lennard Jones und PES < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Bangada |
| Aufgabe 1 | | 1)For a Lennard-Jones 6-12 potential determine the internuclear distance at the potential energy minimum. Using this value, derive an expression for the quadratic force constant. |
| Aufgabe 2 | | 2. What is the mathematical property common to both minima and saddlepoints on potential energy surfaces? |
Hallo liebe Community,
Ich hoffe ihr könnt mir etwas zu meinen bisherigen Gedanken sagen.
1) Das LJ-Potential kann als
V = [mm] 4\epsilon [(\bruch {\sigma}{r})^{12} [/mm] - [mm] (\bruch {\sigma}{r})^6] [/mm] oder auch als
V = [mm] \epsilon [(\bruch {r_{min}}{r})^{12} [/mm] - [mm] 2(\bruch {r_{min}}{r})^6] [/mm] ausgedrückt werden.
Im Vergleich der beiden Terme sieht man [mm] 2\sigma^6=r_{min}^6 [/mm] . Daraus ergibt sich [mm] r_{min}=2^{1/6}\sigma
[/mm]
Quadratic force constant steht für eine Parabel, also wird die Gleichung V(r)= [mm] \bruch{1}{2}kr^2 [/mm] gemeint sein für eine harmonische Oszillation.
r = [mm] r_{min} [/mm] ergibt
V(r)=1/2 [mm] 2^{1/6} \sigma
[/mm]
Habe ich somit Aufgabe 1 vollständig bearbeitet? Sind meine Gedankengänge richtig?
2) Zu Aufgabe zwei habe ich nur eine Vermutung.
Sind lokale Minima und der Sattelpunkt in der V-Oberläche equidistant, bzw. haben den gleichen Abstand zueinander?
Wie kann ich das jedoch mathematisch ausdrücken?
Danke für eure Gedanken!
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mo 18.03.2013 | | Autor: | chrisno |
> ....
> 1) Das LJ-Potential kann als
> V = [mm]4\epsilon [(\bruch {\sigma}{r})^{12}[/mm] - [mm](\bruch {\sigma}{r})^6][/mm]
> oder auch als
> V = [mm]\epsilon [(\bruch {r_{min}}{r})^{12}[/mm] - [mm]2(\bruch {r_{min}}{r})^6][/mm]
> ausgedrückt werden.
Ich vermute, da hast Du schon benutzt, was Du erarbeiten sollst. Standen beide Formeln in dem Text, zu dem die Aufgabe gehört? Typisch wäre die erste Formel. Dann suchst Du das Minimum, also ableiten ...
>...
> Quadratic force constant steht für eine Parabel, also wird
> die Gleichung V(r)= [mm]\bruch{1}{2}kr^2[/mm] gemeint sein für eine
> harmonische Oszillation.
Ja, aber doch nicht für das r, das den Abstand der beiden Kerne angibt.
Um welchen Abstand werden die Schwingungen ausgeführt? Dann: Taylorentwicklung ...
> r = [mm]r_{min}[/mm] ergibt
> V(r)=1/2 [mm]2^{1/6} \sigma[/mm]
>
> Habe ich somit Aufgabe 1 vollständig bearbeitet? Sind
> meine Gedankengänge richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
>
> 2) Zu Aufgabe zwei habe ich nur eine Vermutung.
> Sind lokale Minima und der Sattelpunkt in der V-Oberläche
> equidistant, bzw. haben den gleichen Abstand zueinander?
> Wie kann ich das jedoch mathematisch ausdrücken?
Was willst Du damit sagen? Was ist das Gemeinsame an einem Sattelpunkt und einem Minimum, wen Du Funktionen nur in einer Variablen hast.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 19.03.2013 | | Autor: | Bangada |
Danke schonmal für den ersten Tip!
Ich habe die erste Formel abgleitet zu
[mm] V'(r)=-24\epsilon [2\bruch{\sigma^{12}}{r^{13}}-\bruch{\sigma^{6}}{r^{7}}] [/mm] gleich Null gesetzt und das gewünschte [mm] r_{min}=2^{1/6}\sigma [/mm] heraus bekommen.
Ich bin mir aber noch unsicher beim zweiten Tip. Ich soll diesen Wert benutzen, um die Kraftkonstante auszudrücken.
Ich nehme mal an die Formel [mm] V=\bruch{1}{2}kr^2 [/mm] war schon richtig. Die beiden Kerne schwingen um den Abstand [mm] \{1}{2}r_{min}. [/mm]
Ich habe gerade nicht vor Augen wie ich aus diesen Ausdruck mit einer Taylorreihenentwicklung einen Ausdruck für k bekomme. Bitte noch einen kleinen Tip dazu.
Ich habe außerdem gefunden, dass die Ableitung von V gleich F, der Kraft ist. Also V'=F, die Gleichung, die oben steht. Kann ich nicht auch dann darüber und den Ausdruck F=-kx einen Ausdruck für k bilden?
Zu zweitens:
Die Gemeinsamkeit zwischen einem Extrempunkt und einem Sattelpunkt ist, dass der Graph jeweils dort genau die Steigung 0 hat. Eine Tangente an diesen Punkten würde also waagerecht verlaufen.
Daher bestimmt man beides ja auch mit f'(x) = 0
Der Unterschied ist, dass im Vergleich zu einer Extremstelle läuft die Funktion an einem Sattelpunkt danach in die selbe Richtung wie vorher weiter und ändert nicht ihre Richtung.
Ist das gemeint? Ich hoffe ich bekomme noch einmal einen Tip damit ich diese Aufgaben endlich hinbekommen :)
Danke im Voraus
Bangada
|
|
|
| |
|
Hallo!
zeichne doch mal das LJ-Potential.
Im statischen Fall sitzt das nächste Atom genau im Minimum, also dem berechneten Abstand.
hat das nächste Atom ein wenig mehr Energie, kann es um diesen Punkt hin- und herpendeln, das hast du schon richtig erkannt. Um diese Oszillation zu berechnen, kann man vereinfacht annehmen, daß es sich um eine harm. Schwingung, und damit ein parabelförmiges Potential handelt. Demnach sollst du eine Parabel finden, die in dem Minimum sitzt und den Verlauf drumherum gut beschreibt. Na, klingelts?
Zur zweiten Aufgabe: Ja, das ist richtig. Aber: Was ist denn die räumliche Ableitung des Potentials für eine physikalische Größe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 19.03.2013 | | Autor: | Bangada |
Hallo,
okay, also für die Funktion [mm] V(r)=0.5kr^2 [/mm] mache ich eine Taylorreihenentwicklung im Punkt [mm] r=r_{min}=2^{1/6}\sigma
[/mm]
somit:
[mm] V(r)=V(r_{min}) [/mm] + [mm] V'(r_{min}) (r-r_{min}) [/mm] + [mm] \bruch{V''(r)}{2!} (r-r_{min)}^2
[/mm]
[mm] V(r)=0.5k(2^{1/6}\sigma)^2 [/mm] + [mm] k2^{1/6} (r-2^{1/6}\sigma) [/mm] + [mm] \bruch{k}{2} (r-2^{1/6}\sigma)^2
[/mm]
Dies ist der Ausdruck für die quadratische Funktion durch das Minimum. Aber habe ich dann die Aufgabe schon gelöst? Oder nehme ich die Frage für einen Ausdruck für k zu genau?
2)
Die räumliche Ableitung eines Potentials V ist die Kraft F.
Heißt das, dass die Minima und Sattelpunkte gleiche oder entgegengesetzte Kraftvektoren haben?
Die Ableitungen sind gleich Null, also auch die Kraftvektoren? Sattelpunkte entsprechen ja den Übergangszuständen und Minima Zwischenprodukten oder Produkten.
Mir fehlt in meinem Gedankengang jetzt die entscheidende Aussage....
Ich glaube einen letzten Tip bräuchte ich nochmal :)
Beste Grüße,
Bangada
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo,
>
> okay, also für die Funktion [mm]V(r)=0.5kr^2[/mm] mache ich eine
> Taylorreihenentwicklung im Punkt [mm]r=r_{min}=2^{1/6}\sigma[/mm]
> somit:
Nein, nicht für das quad. Potential. Du willst ja das LJ-Potential annähern. Demnach machst du eine Taylor-Entwicklung bis inklusive dem quadratischen Term vom LJ-P um das Minimum. Das ist das gesuchte Potential, und weil quadratisch, eine Parabel.
>
>
> 2)
> Die räumliche Ableitung eines Potentials V ist die Kraft
> F.
> Heißt das, dass die Minima und Sattelpunkte gleiche oder
> entgegengesetzte Kraftvektoren haben?
> Die Ableitungen sind gleich Null, also auch die
> Kraftvektoren? Sattelpunkte entsprechen ja den
> Übergangszuständen und Minima Zwischenprodukten oder
> Produkten.
> Mir fehlt in meinem Gedankengang jetzt die entscheidende
> Aussage....
> Ich glaube einen letzten Tip bräuchte ich nochmal :)
Das ist schon richtig, da wirkt keine Kraft. Hat ein Teilchen dort keine kin. Energie (und "berührt" das Potential), bleibt es dort in Ruhe, und bewegt sich nicht.
Allerdings ist das ja schon wieder ne physikalische Interpretation. Hier wird nach den mathematischen Gemeinsamkeiten gesucht, und das ist bereits die Ableitung, die =0 wird. Bzw, es geht ja um Potentialflächen, da heißt das ja ein wenig anders 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Bangada |
Zu Frage 1) habe ich jetzt alles verstanden, herzlichen Dank!
Zu 2)
Also im Minima und dem Sattelpunkt werden die Ableitungen bzw. Kräfte gleich Null. Da es sich um Potentiale handel, sind diese dann dort am größten?
Ich finde einfach kein Fazit aus meinen Gedanken, tut mir Leid :)
|
|
|
| |
|
Hmh?
Im Minimum ist ein Wert am größten?
Nee, mathematisch ist nur, daß die Ableitung, also die Kraft dort =0 ist.
Im mehrdimensionalen ist dann der Gradient =0.
|
|
|
|
